Упр.46 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

$$y=\sqrt{\sin^2 2x+2\sin x\cos x}$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x.$$ Тогда

$$y=|\sin 2x|+2\sin x\cos x=|\sin 2x|+\sin 2x.$$

Рассмотрим два случая:

1) Если $$\sin 2x\ge 0,$$ то $$|\sin 2x|=\sin 2x,$$ значит

$$y=2\sin 2x.$$

2) Если $$\sin 2x<0,$$ то $$|\sin 2x|=-\sin 2x,$$ значит

$$y=0.$$

Так как $$\sin 2x\ge 0$$ при

$$\pi k\le x\le \frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z,$$

а $$\sin 2x<0$$ при

$$\frac{\pi}{2}+\pi k\le x\le \pi+\pi k,\quad k\in \mathbb Z,$$

получаем

$$y= \begin{cases} 2\sin 2x, & \pi k\le x\le \frac{\pi}{2}+\pi k, \quad k\in \mathbb Z,\\ 0, & \frac{\pi}{2}+\pi k\le x\le \pi+\pi k, \quad k\in \mathbb Z. \end{cases}$$

График состоит из участков синусоиды $$y=2\sin 2x$$ на промежутках, где $$\sin 2x\ge 0,$$ и отрезков оси $$Ox$$, где функция равна нулю.

Ответ

$$y= \begin{cases} 2\sin 2x, & \pi k\le x\le \frac{\pi}{2}+\pi k, \quad k\in \mathbb Z,\\ 0, & \frac{\pi}{2}+\pi k\le x\le \pi+\pi k, \quad k\in \mathbb Z. \end{cases}$$