Упр.45 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 45 у = корень (1 — 4 sin2хcos2х) — cos2x + sin2x.

$$ y=\sqrt{1-\sin^2 2x}-\cos^2 x+\sin^2 x $$
Так как
$$ 1-\sin^2 2x=\cos^2 2x, $$
то
$$ \sqrt{1-\sin^2 2x}=|\cos 2x|. $$
Следовательно,
$$ y=|\cos 2x|-\cos^2 x+\sin^2 x. $$
Но
$$ -\cos^2 x+\sin^2 x=-\cos 2x, $$
поэтому
$$ y=|\cos 2x|-\cos 2x. $$
Рассмотрим два случая.

Если $$\cos 2x\ge 0,$$ то
$$ y=\cos 2x-\cos 2x=0. $$
Если $$\cos 2x<0,$$ то
$$ y=-\cos 2x-\cos 2x=-2\cos 2x. $$

Значит,
$$ y= \begin{cases} 0, & \pi k-\dfrac{\pi}{4}\le x\le \dfrac{\pi}{4}+\pi k, \quad k\in \mathbb Z,\\[6pt] -2\cos 2x, & \dfrac{\pi}{4}+\pi k\le x\le \dfrac{3\pi}{4}+\pi k, \quad k\in \mathbb Z. \end{cases} $$
График функции состоит из участков, где значение равно нулю, и дуг графика $$y=-2\cos 2x$$ на промежутках, где $$\cos 2x<0$$.

Ответ

$$ y= \begin{cases} 0, & \pi k-\dfrac{\pi}{4}\le x\le \dfrac{\pi}{4}+\pi k, \quad k\in \mathbb Z,\\[6pt] -2\cos 2x, & \dfrac{\pi}{4}+\pi k\le x\le \dfrac{3\pi}{4}+\pi k, \quad k\in \mathbb Z. \end{cases} $$