Упр.44 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим функцию

$$y=\cos x|\cos x|-\sin x|\sin x|.$$

Используем определение модуля и разберём случаи.

1) Если $$\cos x\ge 0$$ и $$\sin x\ge 0,$$ то

$$\cos x|\cos x|=\cos^2 x,\qquad \sin x|\sin x|=\sin^2 x,$$

поэтому

$$y=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x.$$

2) Если $$\cos x\ge 0$$ и $$\sin x\le 0,$$ то

$$\cos x|\cos x|=\cos^2 x,\qquad \sin x|\sin x|=-\sin^2 x,$$

следовательно,

$$y=\cos^2 x+\sin^2 x=1.$$

3) Если $$\cos x\le 0$$ и $$\sin x\ge 0,$$ то

$$\cos x|\cos x|=-\cos^2 x,\qquad \sin x|\sin x|=\sin^2 x,$$

значит,

$$y=-\cos^2 x-\sin^2 x=-1.$$

4) Если $$\cos x\le 0$$ и $$\sin x\le 0,$$ то

$$\cos x|\cos x|=-\cos^2 x,\qquad \sin x|\sin x|=-\sin^2 x,$$

и тогда

$$y=-\cos^2 x+\sin^2 x=-\cos 2x.$$

Итак, функция задаётся по частям:

$$y= \begin{cases} -\cos 2x, & 2\pi k\le x\le \dfrac{\pi}{2}+2\pi k, \quad k\in\mathbb Z,\\[6pt] -1, & \dfrac{\pi}{2}+2\pi k\le x\le \pi+2\pi k, \quad k\in\mathbb Z,\\[6pt] -\cos 2x, & \pi+2\pi k\le x\le \dfrac{3\pi}{2}+2\pi k, \quad k\in\mathbb Z,\\[6pt] 1, & \dfrac{3\pi}{2}+2\pi k\le x\le 2\pi+2\pi k, \quad k\in\mathbb Z. \end{cases}$$

По этим формулам строим график: на промежутках, где функция равна $$\pm 1,$$ получаются горизонтальные отрезки, а на остальных участках — дуги графика $$y=\pm \cos 2x.$$

Ответ

$$y= \begin{cases} -\cos 2x, & 2\pi k\le x\le \dfrac{\pi}{2}+2\pi k, \quad k\in\mathbb Z,\\[6pt] -1, & \dfrac{\pi}{2}+2\pi k\le x\le \pi+2\pi k, \quad k\in\mathbb Z,\\[6pt] -\cos 2x, & \pi+2\pi k\le x\le \dfrac{3\pi}{2}+2\pi k, \quad k\in\mathbb Z,\\[6pt] 1, & \dfrac{3\pi}{2}+2\pi k\le x\le 2\pi+2\pi k, \quad k\in\mathbb Z. \end{cases}$$