Упр.43 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 43 у = sin х | sin х | — cos х | cos х |.

Рассмотрим функцию

$$y=\sin x\,|\sin x|-\cos x\,|\cos x|.$$

Разобьём ось на промежутки, где знаки синуса и косинуса постоянны.

1) Если $$2\pi k\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi k,$$ то $$\sin x\ge 0,\ \cos x\ge 0,$$ поэтому

$$y=\sin^2 x-\cos^2 x=-\cos 2x.$$

2) Если $$\frac{\pi}{2}+2\pi k\le x\le \pi+2\pi k,$$ то $$\sin x\ge 0,\ \cos x\le 0,$$ значит

$$y=\sin^2 x+\cos^2 x=1.$$

3) Если $$\pi+2\pi k-\pi\le x\le -\frac{\pi}{2}+2\pi k,$$ то $$\sin x\le 0,\ \cos x\le 0,$$ и

$$y=-\sin^2 x+\cos^2 x=\cos 2x.$$

4) Если $$2\pi k-\frac{\pi}{2}\le x\le 2\pi k,$$ то $$\sin x\le 0,\ \cos x\ge 0,$$ поэтому

$$y=-\sin^2 x-\cos^2 x=-1.$$

Следовательно, функция задаётся кусочно:

$$ y= \begin{cases} -\cos 2x, & 2\pi k\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi k,\\ 1, & \frac{\pi}{2}+2\pi k\le x\le \pi+2\pi k,\\ \cos 2x, & 2\pi k-\pi\le x\le -\frac{\pi}{2}+2\pi k,\\ -1, & 2\pi k-\frac{\pi}{2}\le x\le 2\pi k, \end{cases} \quad k\in\mathbb Z. $$

Это периодическая функция с периодом $$\pi.$$ По полученной записи строим график: на каждом промежутке он совпадает либо с участком графика $$y=\pm \cos 2x,$$ либо с горизонтальными отрезками $$y=\pm 1.$$

Ответ

$$ y= \begin{cases} -\cos 2x, & 2\pi k\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi k,\\ 1, & \frac{\pi}{2}+2\pi k\le x\le \pi+2\pi k,\\ \cos 2x, & 2\pi k-\pi\le x\le -\frac{\pi}{2}+2\pi k,\\ -1, & 2\pi k-\frac{\pi}{2}\le x\le 2\pi k, \end{cases} \quad k\in\mathbb Z. $$