Упр.42 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 42 а) у = sin х — корень sin2x; б) у = cos х — корень cos2 x.

а) Рассмотрим функцию $$y=\sin x-|\sin x|.$$

Если $$\sin x \ge 0,$$ то $$|\sin x|=\sin x,$$ значит

$$y=\sin x-\sin x=0.$$

Если $$\sin x<0,$$ то $$|\sin x|=-\sin x,$$ значит

$$y=\sin x-(-\sin x)=2\sin x.$$

Следовательно,

$$ y= \begin{cases} 2\sin x, & \pi+2\pi k \le x \le 2\pi+2\pi k, \quad k\in \mathbb Z,\\ 0, & 2\pi k < x < \pi+2\pi k, \quad k\in \mathbb Z. \end{cases} $$

График состоит из участков оси $$Ox$$, где $$\sin x \ge 0,$$ и участков графика $$y=2\sin x$$, где $$\sin x<0.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=\cos x-|\cos x|.$$

Если $$\cos x \ge 0,$$ то $$|\cos x|=\cos x,$$ значит

$$y=\cos x-\cos x=0.$$

Если $$\cos x<0,$$ то $$|\cos x|=-\cos x,$$ значит

$$y=\cos x-(-\cos x)=2\cos x.$$

Следовательно,

$$ y= \begin{cases} 2\cos x, & \dfrac{\pi}{2}+2\pi k \le x \le \dfrac{3\pi}{2}+2\pi k, \quad k\in \mathbb Z,\\ 0, & -\dfrac{\pi}{2}+2\pi k < x < \dfrac{\pi}{2}+2\pi k, \quad k\in \mathbb Z. \end{cases} $$

График строится аналогично: на промежутках, где $$\cos x<0,$$ он совпадает с графиком $$y=2\cos x,$$ а там, где $$\cos x\ge 0,$$ лежит на оси $$Ox.$$

Ответ

$$ \begin{cases} y=\sin x-|\sin x|,\\ y= \begin{cases} 2\sin x, & \pi+2\pi k \le x \le 2\pi+2\pi k, \quad k\in \mathbb Z,\\ 0, & 2\pi k < x < \pi+2\pi k, \quad k\in \mathbb Z \end{cases} \end{cases} $$ и $$ \begin{cases} y=\cos x-|\cos x|,\\ y= \begin{cases} 2\cos x, & \dfrac{\pi}{2}+2\pi k \le x \le \dfrac{3\pi}{2}+2\pi k, \quad k\in \mathbb Z,\\ 0, & -\dfrac{\pi}{2}+2\pi k < x < \dfrac{\pi}{2}+2\pi k, \quad k\in \mathbb Z \end{cases} \end{cases} $$