Упр.41 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) Рассмотрим функцию $$y=\sin x+|\sin x|.$$

Если $$\sin x\ge 0,$$ то $$|\sin x|=\sin x,$$ значит

$$y=2\sin x.$$

Если $$\sin x<0,$$ то $$|\sin x|=-\sin x,$$ значит

$$y=0.$$

Следовательно,

$$y= \begin{cases} 2\sin x, & 2\pi k\le x\le \pi+2\pi k, \\ 0, & \pi+2\pi k<x<2\pi+2\pi k, \end{cases} \quad k\in \mathbb Z.$$

График состоит из участков синусоиды, умноженной на 2, на тех промежутках, где $$\sin x\ge 0,$$ и совпадает с осью $$Ox$$ там, где $$\sin x<0.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=-\cos x+|\cos x|.$$

Если $$\cos x\ge 0,$$ то $$|\cos x|=\cos x,$$ значит

$$y=-\cos x+\cos x=0.$$

Если $$\cos x<0,$$ то $$|\cos x|=-\cos x,$$ значит

$$y=-\cos x-\cos x=-2\cos x.$$

Следовательно,

$$y= \begin{cases} 0, & 2\pi k-\dfrac{\pi}{2}\le x\le 2\pi k+\dfrac{\pi}{2}, \\ -2\cos x, & 2\pi k+\dfrac{\pi}{2}<x<2\pi k+\dfrac{3\pi}{2}, \end{cases} \quad k\in \mathbb Z.$$

График на промежутках, где $$\cos x\ge 0,$$ совпадает с осью $$Ox,$$ а на промежутках, где $$\cos x<0,$$ задаётся кривой $$y=-2\cos x.$$

Ответ

$$\text{а) } y= \begin{cases} 2\sin x, & 2\pi k\le x\le \pi+2\pi k, \\ 0, & \pi+2\pi k<x<2\pi+2\pi k, \end{cases} \quad k\in \mathbb Z;$$
$$\text{б) } y= \begin{cases} 0, & 2\pi k-\dfrac{\pi}{2}\le x\le 2\pi k+\dfrac{\pi}{2}, \\ -2\cos x, & 2\pi k+\dfrac{\pi}{2}<x<2\pi k+\dfrac{3\pi}{2}, \end{cases} \quad k\in \mathbb Z.$$