Упр.4.73 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) у= arccosпиx, x принадлежит (-1/пи;1/пи);
б) у = arctgx3 , x принадлежит R;
в) у = arcsin 5х, х принадлежит (-1/5;1/5);
г) у = (arcctg3x)5, х принадлежит R;
д) у = arccos(-2х), х принадлежит (-1/2;1/2);
е) у = (arcsin 4х)5, х принадлежит (-1/4;1/4).
е) у = (arcsin4х)°, хе —

1. $$y=\arccos(\pi x)$$

   Используем формулу $$\left(\arccos u\right)’=-\frac{u’}{\sqrt{1-u^2}}$$:

   $$y’=-\frac{\pi}{\sqrt{1-\pi^2x^2}}$$

2. $$y=\arctg(x^3)$$

   По формуле $$\left(\arctg u\right)’=\frac{u’}{1+u^2}$$ получаем:

   $$y’=\frac{3x^2}{1+x^6}$$

3. $$y=\arcsin(5x)$$

   По формуле $$\left(\arcsin u\right)’=\frac{u’}{\sqrt{1-u^2}}$$:

   $$y’=\frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}$$

4. $$y=\left(\arcctg(3x)\right)^5$$

   Применим правило степени и формулу $$\left(\arcctg u\right)’=-\frac{u’}{1+u^2}$$:

   $$y’=5\left(\arcctg(3x)\right)^4\cdot\left(-\frac{3}{1+9x^2}\right)=-\frac{15\left(\arcctg(3x)\right)^4}{1+9x^2}$$

5. $$y=\arccos(-2x)$$

   Тогда

   $$y’=-\frac{-2}{\sqrt{1-(-2x)^2}}=\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$$

6. $$y=\left(\arcsin(4x)\right)^5$$

   По правилу цепочки:

   $$y’=5\left(\arcsin(4x)\right)^4\cdot \frac{4}{\sqrt{1-(4x)^2}}=\frac{20\left(\arcsin(4x)\right)^4}{\sqrt{1-16x^2}}$$

Ответ

$$ \begin{aligned} &\text{а) } y’=-\frac{\pi}{\sqrt{1-\pi^2x^2}}; \\ &\text{б) } y’=\frac{3x^2}{1+x^6}; \\ &\text{в) } y’=\frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}; \\ &\text{г) } y’=-\frac{15\left(\arcctg(3x)\right)^4}{1+9x^2}; \\ &\text{д) } y’=\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}; \\ &\text{е) } y’=\frac{20\left(\arcsin(4x)\right)^4}{\sqrt{1-16x^2}}. \end{aligned} $$