Упр.4.72 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 4.72 Найдите производную функции у = arcctgx, х принадлежит R.

Функция $$y=\operatorname{arcctg}x$$ является обратной к функции $$x=\operatorname{ctg}y,$$ где $$y\in(0,\pi).$$

Для обратной функции производная находится по формуле

$$\left(\operatorname{arcctg}x\right)’=\frac{1}{(\operatorname{ctg}y)’}.$$

Так как

$$ (\operatorname{ctg}y)’=-\frac{1}{\sin^2 y}, $$

то

$$\left(\operatorname{arcctg}x\right)’=-\sin^2 y.$$

Из равенства $$x=\operatorname{ctg}y$$ получаем

$$\sin^2 y=\frac{1}{1+\operatorname{ctg}^2 y}=\frac{1}{1+x^2}.$$

Следовательно,

$$\left(\operatorname{arcctg}x\right)’=-\frac{1}{1+x^2}.$$

Ответ

$$y’=-\frac{1}{1+x^2}.$$