Упр.4.71 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) у = корень х, х принадлежит (0; +бесконечность) и х = y2, у принадлежит (0; +бесконечность);
б) y = -корень х, х принадлежит (0; +бесконечность) и х = y2, у принадлежит (-бесконечность; 0);
в) у = lnх, х принадлежит (0; +бесконечность) и х = еу, у принадлежит R.

Подробный ответ

Используем формулу для производной обратной функции:

$$f'(x)=\frac{1}{\varphi'(y)},$$

где $$x=\varphi(y)$$ — функция, обратная к $$y=f(x)$$.

Если $$y=\sqrt{x}$$, то обратная функция имеет вид $$x=y^2$$, где $$y\in(0;+\infty)$$.
Тогда
$$x’=2y,$$
и потому
$$y’=\frac{1}{2y}.$$
Так как $$y=\sqrt{x},$$ получаем
$$y’=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$
Если $$y=-\sqrt{x}$$, то обратная функция также задаётся формулой $$x=y^2,$$ но теперь $$y\in(-\infty;0)$$.
Тогда
$$x’=2y,$$
и
$$y’=\frac{1}{2y}.$$
Подставляя $$y=-\sqrt{x},$$ получаем
$$y’=\frac{1}{2(-\sqrt{x})}=-\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$
Если $$y=\ln x,$$ то обратная функция имеет вид $$x=e^y,$$ где $$y\in\mathbb{R}$$.
Тогда
$$x’=e^y,$$
и значит
$$y’=\frac{1}{e^y}.$$
Так как $$y=\ln x,$$ то $$e^y=x,$$ следовательно
$$y’=\frac{1}{x}.$$