Упр.4.69 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 4.69 Докажите, что графики функций f(x) = ех и фи (х) = хе (х > О) в точке с абсциссой х = е имеют общую касательную. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 4-69 118

Найдём значения функций в точке $$x=e$$:

$$f(e)=e^e,$$

$$\varphi(e)=e^e.$$

Значит, графики проходят через одну и ту же точку $$\bigl(e,\,e^e\bigr).$$

Теперь найдём производные:

$$f'(x)=(e^x)’=e^x,$$

$$\varphi'(x)=(x^e)’=ex^{e-1}.$$

В точке $$x=e$$ получаем:

$$f'(e)=e^e,$$

$$\varphi'(e)=e\cdot e^{\,e-1}=e^e.$$

Следовательно, в точке $$x=e$$ у графиков совпадают и ордината, и угловой коэффициент касательной. Значит, касательная общая.

Ответ

Графики функций $$f(x)=e^x$$ и $$\varphi(x)=x^e$$ при $$x>0$$ в точке с абсциссой $$x=e$$ имеют общую касательную.