Упр.4.68 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) у = xх; б) у = xsinх; в) у = xcos х.

Используем представление степенной функции с переменным показателем через показательную функцию: $$a^b=e^{b\ln a}$$ при $$a>0$$.

1. $$y=x^x,\quad x>0$$

   Тогда

   $$y=e^{x\ln x}$$

   По правилу дифференцирования сложной функции:

   $$y’ = e^{x\ln x}\cdot (x\ln x)’ = x^x\cdot \left(\ln x + x\cdot \frac{1}{x}\right)=x^x(\ln x+1).$$

2. $$y=x^{\sin x},\quad x>0$$

   Запишем:

   $$y=e^{\sin x\ln x}$$

   Тогда

   $$y’ = e^{\sin x\ln x}\cdot (\sin x\ln x)’ = x^{\sin x}\cdot \left((\sin x)’\ln x+\sin x\cdot (\ln x)’\right).$$

   Так как $$ (\sin x)’=\cos x $$ и $$ (\ln x)’=\frac{1}{x},$$ получаем

   $$y’=x^{\sin x}\left(\cos x\,\ln x+\frac{\sin x}{x}\right).$$

3. $$y=x^{\cos x},\quad x>0$$

   Представим функцию в виде

   $$y=e^{\cos x\ln x}$$

   Тогда

   $$y’ = e^{\cos x\ln x}\cdot (\cos x\ln x)’ = x^{\cos x}\cdot \left((\cos x)’\ln x+\cos x\cdot (\ln x)’\right).$$

   Так как $$ (\cos x)’=-\sin x,$$ то

   $$y’=x^{\cos x}\left(-\sin x\,\ln x+\frac{\cos x}{x}\right).$$

Ответ

а) $$y’=x^x(\ln x+1);$$

б) $$y’=x^{\sin x}\left(\cos x\,\ln x+\frac{\sin x}{x}\right);$$

в) $$y’=x^{\cos x}\left(-\sin x\,\ln x+\frac{\cos x}{x}\right).$$