Упр.4.66 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 4.66* Докажите, что если в каждой точке интервала X функция У = f(x) положительна и имеет производную, то на этом интервале совпадают промежутки знакопостоянства производных функций у = f(x) и у = корень f(x). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 4-66 118

Найдём производную функции $$y=\sqrt{f(x)}.$$

Так как на интервале $$X$$ выполнено $$f(x)>0$$ и функция $$f(x)$$ имеет производную, то по правилу дифференцирования сложной функции

$$ y’=\left(\sqrt{f(x)}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{f(x)}}\cdot f'(x)=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}. $$

На интервале $$X$$ знаменатель $$2\sqrt{f(x)}$$ положителен, значит знак производной $$y’$$ совпадает со знаком $$f'(x)$$.

Следовательно, на интервале $$X$$ промежутки знакопостоянства производных функций $$y=f(x)$$ и $$y=\sqrt{f(x)}$$ совпадают.

Ответ

Промежутки знакопостоянства производных функций $$y=f(x)$$ и $$y=\sqrt{f(x)}$$ на интервале $$X$$ совпадают.