Упр.4.65 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$f(x)=4\sin x\cos x$$; б) $$f(x)=\cos^2(3x)-\sin^2(3x)$$; в) $$f(x)=\frac{2\operatorname{tg}(1000x)}{1-\operatorname{tg}^2(1000x)}$$; г) $$f(x)=\sqrt[17]{\sin^2(7x)+\cos^2(7x)}$$.

1. $$f(x)=4\sin x\cos x.$$

   Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x.$$ Тогда

   $$f(x)=2\sin 2x.$$

   Производная:

   $$f'(x)=4\cos 2x.$$

2. $$f(x)=\cos^2(3x)-\sin^2(3x).$$

   По формуле $$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a$$ получаем

   $$f(x)=\cos 6x.$$

   Тогда

   $$f'(x)=-6\sin 6x.$$

3. $$f(x)=\frac{2\tg 1000x}{1-\tg^2(1000x)}.$$

   Используем формулу $$\tg 2a=\frac{2\tg a}{1-\tg^2 a}.$$ Тогда

   $$f(x)=\tg 2000x.$$

   Следовательно,

   $$f'(x)=\frac{2000}{\cos^2 2000x}.$$

4. $$f(x)=\sqrt[17]{\sin^2(7x)+\cos^2(7x)}.$$

   Так как $$\sin^2(7x)+\cos^2(7x)=1,$$ то

   $$f(x)=\sqrt[17]{1}=1.$$

   Значит,

   $$f'(x)=0.$$

Ответ

а) $$f'(x)=4\cos 2x$$; б) $$f'(x)=-6\sin 6x$$; в) $$f'(x)=\frac{2000}{\cos^2 2000x}$$; г) $$f'(x)=0$$.