Упр.4.62 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

4. Укажите, при каких значениях $$x$$ функция $$f(x)$$ имеет производную, и найдите эту производную, если:
   а) $$f(x)=x^{0,5}$$;
   б) $$f(x)=x^{-0,5}$$;
   в) $$f(x)=x^{4,2}$$;
   г) $$f(x)=x^{-0,2}$$;
   д) $$f(x)=x^{\frac{4}{3}}$$;
   е) $$f(x)=x^{\frac{13}{3}}$$;
   ж) $$f(x)=x^{-3,5}$$;
   з) $$f(x)=x^{\frac{16}{3}}$$.

Используем правило дифференцирования степенной функции:

$$\left(x^n\right)’=n x^{n-1}.$$

Если показатель степени дробный с чётным знаменателем и основание под корнем, то функция определена при $$x>0$$, а производная существует там же. Если показатель отрицательный, нужно дополнительно исключить $$x=0$$.

1. $$f(x)=x^{0,5}=x^{\frac12}$$

   $$f'(x)=\frac12 x^{-\frac12}=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad x>0.$$

2. $$f(x)=x^{-0,5}=x^{-\frac12}$$

   $$f'(x)=-\frac12 x^{-\frac32}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}, \quad x>0.$$

3. $$f(x)=x^{4,2}$$

   $$f'(x)=4,2x^{3,2}, \quad x\in \mathbb{R}.$$

4. $$f(x)=x^{-0,2}=x^{-\frac15}$$

   $$f'(x)=-0,2x^{-1,2}=-\frac{1}{5x^{1,2}}, \quad x\in \mathbb{R},\ x\ne 0.$$

5. $$f(x)=x^{\frac43}$$

   $$f'(x)=\frac43 x^{\frac13}, \quad x\in \mathbb{R}.$$

6. $$f(x)=x^{\frac{13}{3}}$$

   $$f'(x)=\frac{13}{3}x^{\frac{10}{3}}, \quad x\in \mathbb{R}.$$

7. $$f(x)=x^{-3,5}=x^{-\frac72}$$

   $$f'(x)=-3,5x^{-4,5}, \quad x>0.$$

8. $$f(x)=x^{\frac{16}{3}}$$

   $$f'(x)=\frac{16}{3}x^{\frac{13}{3}}, \quad x\in \mathbb{R}.$$

Ответ

а) $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},\ x>0$$;
б) $$f'(x)=-\frac{1}{2x\sqrt{x}},\ x>0$$;
в) $$f'(x)=4,2x^{3,2},\ x\in \mathbb{R}$$;
г) $$f'(x)=-\frac{1}{5x^{1,2}},\ x\in \mathbb{R},\ x\ne 0$$;
д) $$f'(x)=\frac43 x^{\frac13},\ x\in \mathbb{R}$$;
е) $$f'(x)=\frac{13}{3}x^{\frac{10}{3}},\ x\in \mathbb{R}$$;
ж) $$f'(x)=-3,5x^{-4,5},\ x>0$$;
з) $$f'(x)=\frac{16}{3}x^{\frac{13}{3}},\ x\in \mathbb{R}$$.