Упр.4.61 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 4.61 Запишите формулу для вычисления производной функции у = ха, а — нецелое число. При каких значениях х справедлива эта формула?

Рассмотрим функцию $$y=x^\alpha,$$ где $$\alpha$$ — нецелое число.

Если $$x>0,$$ то можно воспользоваться формулой производной степенной функции с произвольным действительным показателем:

$$\left(x^\alpha\right)’=\alpha x^{\alpha-1}.$$

При $$x<0$$ выражение $$x^\alpha$$ для нецелого $$\alpha$$, вообще говоря, не определено как действительное число. Поэтому формула производной в действительных числах имеет смысл только при $$x>0.$$

Если же рассматривать функцию $$y=|x|^\alpha$$, то для $$x<0$$ можно записать $$y=(-x)^\alpha,$$ и тогда

$$\left((-x)^\alpha\right)’=\alpha(-x)^{\alpha-1}\cdot(-1)=-\alpha(-x)^{\alpha-1},$$

но это уже другая функция.

Ответ

$$\left(x^\alpha\right)’=\alpha x^{\alpha-1},\qquad x>0.$$