Упр.4.59 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$f(x)=\ln(3x)$$;
   б) $$f(x)=\ln(5-2x)$$;
   в) $$f(x)=\log_3(-3x-1)$$;
   г) $$f(x)=\lg(2x+4)$$.

Найдём производные данных функций, используя формулы:

$$\bigl(\ln u\bigr)’=\frac{u’}{u}, \qquad \bigl(\log_a u\bigr)’=\frac{u’}{u\ln a}.$$

1. $$f(x)=\ln(3x)$$

   $$f'(x)=\frac{(3x)’}{3x}=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}, \qquad x>0.$$

2. $$f(x)=\ln(5-2x)$$

   $$f'(x)=\frac{(5-2x)’}{5-2x}=\frac{-2}{5-2x}=\frac{2}{2x-5}, \qquad x<\frac{5}{2}.$$

3. $$f(x)=\log_3(-3x-1)$$

   $$f'(x)=\frac{(-3x-1)’}{(-3x-1)\ln 3}=\frac{-3}{(-3x-1)\ln 3}=\frac{3}{(3x+1)\ln 3}, \qquad x<-\frac{1}{3}.$$

4. $$f(x)=\lg(2x+4)$$

   $$f'(x)=\frac{(2x+4)’}{(2x+4)\ln 10}=\frac{2}{(2x+4)\ln 10}=\frac{1}{(x+2)\ln 10}, \qquad x>-2.$$

Ответ

$$\text{а) } f'(x)=\frac{1}{x}; \quad \text{б) } f'(x)=\frac{2}{2x-5}; \quad \text{в) } f'(x)=\frac{3}{(3x+1)\ln 3}; \quad \text{г) } f'(x)=\frac{1}{(x+2)\ln 10}.$$