Упр.4.58 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

6) f(x) = cos (x4);
в) f(x) = tg (x3);
г) f(x) = ctg (x5);
д) f(x) = (sin x)2;
e) f(x) = (cos x)4;
ж) f(x) = (tg x)3;
з) f(x) = (ctg x)5.

1. а) $$f(x)=\sin(x^2)$$

   По правилу производной сложной функции:

   $$f'(x)=\cos(x^2)\cdot 2x.$$

2. б) $$f(x)=\cos(x^4)$$

   $$f'(x)=-\sin(x^4)\cdot 4x^3.$$

3. в) $$f(x)=\tg(x^3)$$

   $$f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x^3)}\cdot 3x^2=\frac{3x^2}{\cos^2(x^3)}.$$

   Область определения производной: $$x\ne \sqrt[3]{\frac{\pi}{2}+\pi k},\ k\in \mathbb{Z}.$$

4. г) $$f(x)=\ctg(x^5)$$

   $$f'(x)=-\frac{1}{\sin^2(x^5)}\cdot 5x^4=-\frac{5x^4}{\sin^2(x^5)}.$$

   Область определения производной: $$x\ne \sqrt[5]{\pi k},\ k\in \mathbb{Z}.$$

5. д) $$f(x)=(\sin x)^2$$

   $$f'(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x.$$

6. е) $$f(x)=(\cos x)^4$$

   $$f'(x)=4(\cos x)^3\cdot(-\sin x)=-4\cos^3 x\sin x.$$

7. ж) $$f(x)=(\tg x)^3$$

   $$f'(x)=3\tg^2 x\cdot \frac{1}{\cos^2 x}=\frac{3\tg^2 x}{\cos^2 x}.$$

   Область определения: $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in \mathbb{Z}.$$

8. з) $$f(x)=(\ctg x)^5$$

   $$f'(x)=5(\ctg x)^4\cdot\left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)=-\frac{5\ctg^4 x}{\sin^2 x}.$$

   Область определения: $$x\ne \pi k,\ k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$f'(x)=2x\cos(x^2)$$;
б) $$f'(x)=-4x^3\sin(x^4)$$;
в) $$f'(x)=\dfrac{3x^2}{\cos^2(x^3)}$$;
г) $$f'(x)=-\dfrac{5x^4}{\sin^2(x^5)}$$;
д) $$f'(x)=\sin 2x$$;
е) $$f'(x)=-4\cos^3 x\sin x$$;
ж) $$f'(x)=\dfrac{3\tg^2 x}{\cos^2 x}$$;
з) $$f'(x)=-\dfrac{5\ctg^4 x}{\sin^2 x}$$.