Упр.4.56 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) f(x) = 4 cos 17x cos 13x;
в) f(x) = 5 sin 10x cos 8x;
г) f(x) = 6 sin 7x sin 3x.
а) $$y=(\cos x)^4-(\sin x)^4$$
Используем формулу разности квадратов:
$$ (\cos x)^4-(\sin x)^4=\bigl((\cos x)^2-(\sin x)^2\bigr)\bigl((\cos x)^2+(\sin x)^2\bigr). $$
Так как $$ (\cos x)^2+(\sin x)^2=1 $$, а $$ (\cos x)^2-(\sin x)^2=\cos 2x $$, получаем:
$$y=\cos 2x.$$
Тогда
$$y’=-2\sin 2x.$$
б) $$y=4\cos 17x\cos 13x$$
По формуле произведения косинусов:
$$ 2\cos A\cos B=\cos(A+B)+\cos(A-B). $$
Следовательно,
$$ y=2\bigl(\cos 30x+\cos 4x\bigr). $$
Дифференцируем:
$$ y’=2\bigl(-30\sin 30x-4\sin 4x\bigr)=-60\sin 30x-8\sin 4x. $$
в) $$y=5\sin 10x\cos 8x$$
Используем формулу:
$$ 2\sin A\cos B=\sin(A+B)+\sin(A-B). $$
Тогда
$$ y=\frac{5}{2}\bigl(\sin 18x+\sin 2x\bigr). $$
Находим производную:
$$ y’=\frac{5}{2}\bigl(18\cos 18x+2\cos 2x\bigr)=45\cos 18x+5\cos 2x. $$
г) $$y=6\sin 7x\sin 3x$$
По формуле произведения синусов:
$$ 2\sin A\sin B=\cos(A-B)-\cos(A+B). $$
Следовательно,
$$ y=3\bigl(\cos 4x-\cos 10x\bigr). $$
Тогда
$$ y’=3\bigl(-4\sin 4x+10\sin 10x\bigr)=-12\sin 4x+30\sin 10x. $$
Ответ
а) $$y’=-2\sin 2x$$; б) $$y’=-60\sin 30x-8\sin 4x$$; в) $$y’=45\cos 18x+5\cos 2x$$; г) $$y’=-12\sin 4x+30\sin 10x$$.
