Упр.4.56 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

• а) $$f(x)=(\cos x)^4-(\sin x)^4$$;
• б) $$f(x)=4\cos 17x\cos 13x$$;
• в) $$f(x)=5\sin 10x\cos 8x$$;
• г) $$f(x)=6\sin 7x\sin 3x$$.

1. а) $$y=(\cos x)^4-(\sin x)^4$$

   Используем формулу разности квадратов:

   $$(\cos x)^4-(\sin x)^4=\bigl((\cos x)^2-(\sin x)^2\bigr)\bigl((\cos x)^2+(\sin x)^2\bigr).$$

   Так как $$(\cos x)^2+(\sin x)^2=1$$, а $$(\cos x)^2-(\sin x)^2=\cos 2x$$, получаем:

   $$y=\cos 2x.$$

   Тогда

   $$y’=-2\sin 2x.$$

2. б) $$y=4\cos 17x\cos 13x$$

   По формуле произведения косинусов:

   $$2\cos A\cos B=\cos(A+B)+\cos(A-B).$$

   Следовательно,

   $$y=2\bigl(\cos 30x+\cos 4x\bigr).$$

   Дифференцируем:

   $$y’=2\bigl(-30\sin 30x-4\sin 4x\bigr)=-60\sin 30x-8\sin 4x.$$

3. в) $$y=5\sin 10x\cos 8x$$

   Используем формулу:

   $$2\sin A\cos B=\sin(A+B)+\sin(A-B).$$

   Тогда

   $$y=\frac{5}{2}\bigl(\sin 18x+\sin 2x\bigr).$$

   Находим производную:

   $$y’=\frac{5}{2}\bigl(18\cos 18x+2\cos 2x\bigr)=45\cos 18x+5\cos 2x.$$

4. г) $$y=6\sin 7x\sin 3x$$

   По формуле произведения синусов:

   $$2\sin A\sin B=\cos(A-B)-\cos(A+B).$$

   Следовательно,

   $$y=3\bigl(\cos 4x-\cos 10x\bigr).$$

   Тогда

   $$y’=3\bigl(-4\sin 4x+10\sin 10x\bigr)=-12\sin 4x+30\sin 10x.$$

Ответ

а) $$y’=-2\sin 2x$$; б) $$y’=-60\sin 30x-8\sin 4x$$; в) $$y’=45\cos 18x+5\cos 2x$$; г) $$y’=-12\sin 4x+30\sin 10x$$.