Упр.4.55 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

6) f(x) = log4(-x) + log2(-x);
в) f(x) = ln(2x);
г) f(x) = ln(5x — 10).

Используем формулу производной логарифма:

$$\bigl(\log_a u(x)\bigr)’=\frac{u'(x)}{u(x)\ln a}, \qquad (\ln u(x))’=\frac{u'(x)}{u(x)}.$$

1. $$f(x)=\log_4(12x)-\log_2 x.$$

   Область определения: $$x>0.$$

   $$f'(x)=\frac{12}{12x\ln 4}-\frac{1}{x\ln 2}=\frac{1}{x\ln 4}-\frac{1}{x\ln 2}.$$

   Так как $$\ln 4=2\ln 2,$$ то

   $$f'(x)=\frac{1}{2x\ln 2}-\frac{1}{x\ln 2}=-\frac{1}{2x\ln 2}.$$

2. $$f(x)=\log_4(-x)+\log_2(-x).$$

   Область определения: $$x<0.$$

   $$f'(x)=\frac{-1}{(-x)\ln 4}+\frac{-1}{(-x)\ln 2}=-\frac{1}{x\ln 4}-\frac{1}{x\ln 2}.$$

   Так как $$\ln 4=2\ln 2,$$ то

   $$f'(x)=-\frac{1}{2x\ln 2}-\frac{1}{x\ln 2}=-\frac{3}{2x\ln 2}.$$

3. $$f(x)=\ln(2x).$$

   Область определения: $$x>0.$$

   $$f'(x)=\frac{2}{2x}=\frac{1}{x}.$$

4. $$f(x)=\ln(5x-10).$$

   Область определения: $$x>2.$$

   $$f'(x)=\frac{5}{5x-10}=\frac{1}{x-2}.$$

Ответ

а) $$f'(x)=-\frac{1}{2x\ln 2}, \quad x>0.$$

б) $$f'(x)=-\frac{3}{2x\ln 2}, \quad x<0.$$

в) $$f'(x)=\frac{1}{x}, \quad x>0.$$

г) $$f'(x)=\frac{1}{x-2}, \quad x>2.$$