Упр.4.54 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Используем правило дифференцирования показательной функции:
$$\left(a^{u(x)}\right)’=a^{u(x)}\ln a\cdot u'(x), \quad a>0,\ a\ne 1.$$
Также:
$$\left(e^{u(x)}\right)’=e^{u(x)}\cdot u'(x).$$
$$f(x)=e^{x^3}$$
$$f'(x)=e^{x^3}\cdot (x^3)’=e^{x^3}\cdot 3x^2=3x^2e^{x^3}.$$
$$f(x)=e^{-x^4}$$
$$f'(x)=e^{-x^4}\cdot (-x^4)’=e^{-x^4}\cdot (-4x^3)=-4x^3e^{-x^4}.$$
$$f(x)=3^{x^3}$$
$$f'(x)=3^{x^3}\ln 3\cdot (x^3)’=3^{x^3}\ln 3\cdot 3x^2=3x^2\ln 3\cdot 3^{x^3}.$$
$$f(x)=5^{-x^4}$$
$$f'(x)=5^{-x^4}\ln 5\cdot (-x^4)’=5^{-x^4}\ln 5\cdot (-4x^3)=-4x^3\ln 5\cdot 5^{-x^4}.$$
$$f(x)=e^{\sin x}$$
$$f'(x)=e^{\sin x}\cdot (\sin x)’=e^{\sin x}\cos x.$$
$$f(x)=9^{\cos x}$$
$$f'(x)=9^{\cos x}\ln 9\cdot (\cos x)’=9^{\cos x}\ln 9\cdot (-\sin x)=-9^{\cos x}\ln 9\sin x.$$
Ответ
$$\begin{aligned} &\text{а) } f'(x)=3x^2e^{x^3};\\ &\text{б) } f'(x)=-4x^3e^{-x^4};\\ &\text{в) } f'(x)=3x^2\ln 3\cdot 3^{x^3};\\ &\text{г) } f'(x)=-4x^3\ln 5\cdot 5^{-x^4};\\ &\text{д) } f'(x)=e^{\sin x}\cos x;\\ &\text{е) } f'(x)=-9^{\cos x}\ln 9\sin x. \end{aligned}$$
