Упр.4.52 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

4.52 а) f(x) = kx + ex;
6) f(x) = xе — xпи;
в) f(x) = пиx + xпи;
г) f(x) = xе — ex.

Используем правило дифференцирования показательной функции:

$$\left(a^x\right)’=a^x\ln a,\qquad \left(e^x\right)’=e^x.$$

Тогда:

1. $$f(x)=k^x+e^x.$$

   Функция имеет производную при всех $$x\in\mathbb{R}$$, и

   $$f'(x)=k^x\ln k+e^x.$$

2. $$f(x)=x^e-x^\pi.$$

   Так как показатели $$e$$ и $$\pi$$ нецелые, то для вещественных значений функция определена при $$x>0$$. На этой области она дифференцируема, и

   $$f'(x)=ex^{\,e-1}-\pi x^{\,\pi-1}.$$

3. $$f(x)=\pi^x+x^\pi.$$

   Функция имеет производную при всех $$x\in\mathbb{R}$$, и

   $$f'(x)=\pi^x\ln\pi+\pi x^{\,\pi-1}.$$

4. $$f(x)=x^e-e^x.$$

   Область определения: $$x>0$$. На этой области функция дифференцируема, и

   $$f'(x)=ex^{\,e-1}-e^x.$$

Ответ

а) $$x\in\mathbb{R},\quad f'(x)=k^x\ln k+e^x$$;
б) $$x>0,\quad f'(x)=ex^{\,e-1}-\pi x^{\,\pi-1}$$;
в) $$x\in\mathbb{R},\quad f'(x)=\pi^x\ln\pi+\pi x^{\,\pi-1}$$;
г) $$x>0,\quad f'(x)=ex^{\,e-1}-e^x$$.