Упр.4.51 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Докажите справедливость равенства:
   а) $$(\sin 2x)’=2\cos 2x;$$
   б) $$(5^{2x})’=5^{2x}\cdot\ln 25;$$
   в) $$(\cos 2x)’=-2\sin 2x;$$
   г) $$(\ln 17x)’=\frac{1}{x},\quad x>0.$$

Используем правило дифференцирования сложной функции.

1. $$\left(\sin 2x\right)’=\left(\sin u\right)’=\cos u\cdot u’,$$ где $$u=2x.$$

   Тогда $$u’=2,$$ значит

   $$\left(\sin 2x\right)’=\cos 2x\cdot 2=2\cos 2x.$$

2. $$\left(5^{2x}\right)’=\left(5^u\right)’=5^u\ln 5\cdot u’,$$ где $$u=2x.$$

   Тогда $$u’=2,$$ значит

   $$\left(5^{2x}\right)’=5^{2x}\ln 5\cdot 2=5^{2x}\cdot 2\ln 5=5^{2x}\ln 25.$$

3. $$\left(\cos 2x\right)’=\left(\cos u\right)’=-\sin u\cdot u’,$$ где $$u=2x.$$

   Тогда $$u’=2,$$ значит

   $$\left(\cos 2x\right)’=-\sin 2x\cdot 2=-2\sin 2x.$$

4. $$\left(\ln 17x\right)’=\left(\ln u\right)’=\frac{1}{u}\cdot u’,$$ где $$u=17x,\quad x>0.$$

   Тогда $$u’=17,$$ значит

   $$\left(\ln 17x\right)’=\frac{1}{17x}\cdot 17=\frac{1}{x}.$$

Ответ

$$\left(\sin 2x\right)’=2\cos 2x,$$ $$\left(5^{2x}\right)’=5^{2x}\ln 25,$$ $$\left(\cos 2x\right)’=-2\sin 2x,$$ $$\left(\ln 17x\right)’=\frac{1}{x},\ x>0.$$