Упр.4.50 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) равна нулю; б) положительна; в) отрицательна.

Область определения функции: $$x>0.$$

Найдём производную:

$$ y=\frac{\ln x}{x} $$

$$ y’=\frac{(\ln x)’ \cdot x-\ln x \cdot x’}{x^2} =\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x \cdot 1}{x^2} =\frac{1-\ln x}{x^2}. $$

Так как при $$x>0$$ знаменатель $$x^2>0,$$ знак производной определяется числителем $$1-\ln x.$$

а) $$y’=0,$$ когда

$$ 1-\ln x=0 \quad \Rightarrow \quad \ln x=1 \quad \Rightarrow \quad x=e. $$

б) $$y’>0,$$ когда

$$ 1-\ln x>0 \quad \Rightarrow \quad \ln x<1 \quad \Rightarrow \quad 0<x<e. $$

в) $$y'<0,$$ когда

$$ 1-\ln x<0 \quad \Rightarrow \quad \ln x>1 \quad \Rightarrow \quad x>e. $$

Ответ

а) $$x=e$$; б) $$0<x<e$$; в) $$x>e$$.