Упр.4.5 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) приращение функции дельта f = f(x + дельта х) — f(x);
б) тангенс угла наклона секущей;
в) тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой х;
г) тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой: х = 0; х = 1; х = -1; х = 2; х = -2.

Дана функция $$f(x)=x^2.$$

Найдём приращение функции:

$$\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)=(x+\Delta x)^2-x^2.$$

Раскроем скобки:

$$\Delta f=x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2-x^2=2x\Delta x+(\Delta x)^2=\Delta x(2x+\Delta x).$$

Тангенс угла наклона секущей равен отношению приращения функции к приращению аргумента:

$$\tg \beta=\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{\Delta x(2x+\Delta x)}{\Delta x}=2x+\Delta x.$$

Тангенс угла наклона касательной в точке с абсциссой $$x$$ равен производной:

$$f'(x)=(x^2)’=2x,$$

значит

$$\tg \alpha=2x.$$

Для указанных точек:

$$\tg \alpha(0)=0,\quad \tg \alpha(1)=2,\quad \tg \alpha(-1)=-2,\quad \tg \alpha(2)=4,\quad \tg \alpha(-2)=-4.$$

Ответ

а) $$\Delta f=\Delta x(2x+\Delta x);$$
б) $$\tg \beta=2x+\Delta x;$$
в) $$\tg \alpha=2x;$$
г) $$0,\ 2,\ -2,\ 4,\ -4.$$