Упр.4.49 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$f(x)=\cos 2002x\cos 2001x+\sin 2001x\sin 2002x$$;
   б) $$f(x)=\sin 2002x\cos 2001x-\sin 2001x\cos 2002x$$;
   в) $$f(x)=\frac{\operatorname{tg}2002x-\operatorname{tg}2001x}{1+\operatorname{tg}2002x\operatorname{tg}2001x}$$.

Используем формулы тригонометрии.

а)

$$f(x)=\cos 2002x \cos 2001x+\sin 2001x \sin 2002x$$
$$f(x)=\cos(2002x-2001x)=\cos x$$
Тогда
$$f'(x)=(\cos x)’=-\sin x.$$

б)

$$f(x)=\sin 2002x \cos 2001x-\sin 2001x \cos 2002x$$
$$f(x)=\sin(2002x-2001x)=\sin x$$
Следовательно,
$$f'(x)=(\sin x)’=\cos x.$$

в)

$$f(x)=\frac{\tg 2002x-\tg 2001x}{1+\tg 2002x \tg 2001x}$$
$$f(x)=\tg(2002x-2001x)=\tg x$$
Тогда
$$f'(x)=(\tg x)’=\frac{1}{\cos^2 x}.$$
При этом
$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$f'(x)=-\sin x$$;
б) $$f'(x)=\cos x$$;
в) $$f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x},\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in \mathbb{Z}.$$