Упр.4.47 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Докажите формулы для нахождения производных функций $$y=\cos x$$ и $$y=\operatorname{ctg}x$$.

1) Найдём производную функции $$y=\cos x$$.

По определению производной:

$$(\cos x)’=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x}.$$

Используем формулу разности косинусов:

$$\cos(x+\Delta x)-\cos x =-2\sin\frac{2x+\Delta x}{2}\sin\frac{\Delta x}{2}.$$

Тогда

$$\frac{\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x} =-\sin\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\cdot \frac{\sin(\Delta x/2)}{\Delta x/2}.$$

При $$\Delta x\to 0$$ имеем

$$\sin\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\to \sin x,\qquad \frac{\sin(\Delta x/2)}{\Delta x/2}\to 1.$$

Следовательно,

$$(\cos x)’=-\sin x.$$

2) Найдём производную функции $$y=\ctg x$$.

Представим котангенс в виде дроби:

$$\ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}.$$

Тогда по формуле производной частного:

$$(\ctg x)’=\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)’ =\frac{(\cos x)’\sin x-\cos x(\sin x)’}{\sin^2 x}.$$

Подставим известные производные $$(\cos x)’=-\sin x$$ и $$(\sin x)’=\cos x$$:

$$(\ctg x)’=\frac{(-\sin x)\sin x-\cos x\cos x}{\sin^2 x} =\frac{-\sin^2 x-\cos^2 x}{\sin^2 x} =-\frac{1}{\sin^2 x}.$$

Значит,

$$(\ctg x)’=-\frac{1}{\sin^2 x}.$$

Ответ

$$(\cos x)’=-\sin x,\qquad (\ctg x)’=-\frac{1}{\sin^2 x}.$$