Упр.4.47 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 4.47* Докажите формулы для нахождения производных функций у = cos х и у = ctgx. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 4-47 118

1) Найдём производную функции $$y=\cos x$$.

По определению производной:

$$ (\cos x)’=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x}. $$

Используем формулу разности косинусов:

$$ \cos(x+\Delta x)-\cos x =-2\sin\frac{2x+\Delta x}{2}\sin\frac{\Delta x}{2}. $$

Тогда

$$ \frac{\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x} =-\sin\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\cdot \frac{\sin(\Delta x/2)}{\Delta x/2}. $$

При $$\Delta x\to 0$$ имеем

$$ \sin\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\to \sin x,\qquad \frac{\sin(\Delta x/2)}{\Delta x/2}\to 1. $$

Следовательно,

$$ (\cos x)’=-\sin x. $$

2) Найдём производную функции $$y=\ctg x$$.

Представим котангенс в виде дроби:

$$ \ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}. $$

Тогда по формуле производной частного:

$$ (\ctg x)’=\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)’ =\frac{(\cos x)’\sin x-\cos x(\sin x)’}{\sin^2 x}. $$

Подставим известные производные $$ (\cos x)’=-\sin x $$ и $$ (\sin x)’=\cos x $$:

$$ (\ctg x)’=\frac{(-\sin x)\sin x-\cos x\cos x}{\sin^2 x} =\frac{-\sin^2 x-\cos^2 x}{\sin^2 x} =-\frac{1}{\sin^2 x}. $$

Значит,

$$ (\ctg x)’=-\frac{1}{\sin^2 x}. $$

Ответ

$$ (\cos x)’=-\sin x,\qquad (\ctg x)’=-\frac{1}{\sin^2 x}. $$