Упр.4.46 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) у = sinx; б) у = cosx; в) y = tgx; г) y = ctgx.
При каких значениях х справедлива каждая из формул?

Используем основные формулы дифференцирования тригонометрических функций:

• $$\left(\sin x\right)’=\cos x$$
• $$\left(\cos x\right)’=-\sin x$$
• $$\left(\tg x\right)’=\frac{1}{\cos^2 x}$$
• $$\left(\ctg x\right)’=-\frac{1}{\sin^2 x}$$

Укажем, при каких значениях $$x$$ эти формулы справедливы.

• Для $$y=\sin x$$ и $$y=\cos x$$ производные существуют при всех $$x\in \mathbb{R}$$.
• Для $$y=\tg x$$ нужно, чтобы $$\cos x\neq 0$$, то есть $$x\neq \frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in \mathbb{Z}$$.
• Для $$y=\ctg x$$ нужно, чтобы $$\sin x\neq 0$$, то есть $$x\neq \pi k,\ k\in \mathbb{Z}$$.

Ответ

а) $$\left(\sin x\right)’=\cos x,\quad x\in \mathbb{R}$$;
б) $$\left(\cos x\right)’=-\sin x,\quad x\in \mathbb{R}$$;
в) $$\left(\tg x\right)’=\frac{1}{\cos^2 x},\quad x\neq \frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in \mathbb{Z}$$;
г) $$\left(\ctg x\right)’=-\frac{1}{\sin^2 x},\quad x\neq \pi k,\ k\in \mathbb{Z}$$.