Упр.4.44 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=\frac{4^x}{2^x}=\frac{(2^2)^x}{2^x}=\frac{2^{2x}}{2^x}=2^x.$$

Тогда

$$f'(x)=(2^x)’=2^x\ln 2.$$

б) $$f(x)=\frac{3^x}{9^x}=\frac{3^x}{(3^2)^x}=\frac{3^x}{3^{2x}}=3^{-x}=\frac{1}{3^x}.$$

Следовательно,

$$f'(x)=(3^{-x})’=-3^{-x}\ln 3=-\frac{\ln 3}{3^x}.$$

в) $$f(x)=\frac{2^x+4^x}{2^x}=1+\frac{4^x}{2^x}=1+\frac{2^{2x}}{2^x}=1+2^x.$$

Тогда

$$f'(x)=(1+2^x)’=2^x\ln 2.$$

г) $$f(x)=\frac{3^x}{3^x+9^x}=\frac{3^x}{3^x(1+3^x)}=\frac{1}{1+3^x}.$$

Следовательно,

$$f'(x)=\left(\frac{1}{1+3^x}\right)’=-\frac{3^x\ln 3}{(1+3^x)^2}.$$

д) $$f(x)=\frac{2^x-4^x}{2^x+4^x}=\frac{2^x(1-2^x)}{2^x(1+2^x)}=\frac{1-2^x}{1+2^x}.$$

Тогда

$$f'(x)=\frac{(1-2^x)'(1+2^x)-(1-2^x)(1+2^x)’}{(1+2^x)^2}$$

$$=\frac{-2^x\ln 2\,(1+2^x)-2^x\ln 2\,(1-2^x)}{(1+2^x)^2}$$

$$=-\frac{2^{x+1}\ln 2}{(1+2^x)^2}.$$

е) $$f(x)=\frac{3^x-9^x}{3^x+9^x}=\frac{3^x(1-3^x)}{3^x(1+3^x)}=\frac{1-3^x}{1+3^x}.$$

Тогда

$$f'(x)=\frac{(1-3^x)'(1+3^x)-(1-3^x)(1+3^x)’}{(1+3^x)^2}$$

$$=\frac{-3^x\ln 3\,(1+3^x)-3^x\ln 3\,(1-3^x)}{(1+3^x)^2}$$

$$=-\frac{2\cdot 3^x\ln 3}{(1+3^x)^2}.$$

ж) $$f(x)=\frac{\lg x}{\lg e}.$$

Так как $$\frac{\lg x}{\lg e}=\ln x,$$ то

$$f'(x)=(\ln x)’=\frac{1}{x}, \qquad x>0.$$

з) $$f(x)=\frac{\ln x}{\ln 10}.$$

Поскольку $$\frac{\ln x}{\ln 10}=\lg x,$$ имеем

$$f'(x)=(\lg x)’=\frac{1}{x\ln 10}, \qquad x>0.$$

и) $$f(x)=\frac{\lg x}{\lg 2}.$$

Так как $$\frac{\lg x}{\lg 2}=\log_2 x,$$ то

$$f'(x)=(\log_2 x)’=\frac{1}{x\ln 2}, \qquad x>0.$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } f'(x)=2^x\ln 2; \\ &\text{б) } f'(x)=-\frac{\ln 3}{3^x}; \\ &\text{в) } f'(x)=2^x\ln 2; \\ &\text{г) } f'(x)=-\frac{3^x\ln 3}{(1+3^x)^2}; \\ &\text{д) } f'(x)=-\frac{2^{x+1}\ln 2}{(1+2^x)^2}; \\ &\text{е) } f'(x)=-\frac{2\cdot 3^x\ln 3}{(1+3^x)^2}; \\ &\text{ж) } f'(x)=\frac{1}{x}, \ x>0; \\ &\text{з) } f'(x)=\frac{1}{x\ln 10}, \ x>0; \\ &\text{и) } f'(x)=\frac{1}{x\ln 2}, \ x>0. \end{aligned}$$