Упр.4.42 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) у = ах; б) y = ex; в) y = loga(x); г) y = lnх.
При каких значениях х справедлива каждая из формул?

Используем известные формулы производных:

• $$\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a$$, где $$a>0$$ и $$a\ne 1$$;
• $$\frac{d}{dx}e^x=e^x$$;
• $$\frac{d}{dx}\log_a x=\frac{1}{x\ln a}$$, где $$a>0$$ и $$a\ne 1$$;
• $$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$$.

Укажем, при каких значениях $$x$$ эти формулы справедливы:

• для $$y=a^x$$ производная существует при всех $$x\in\mathbb{R}$$;
• для $$y=e^x$$ производная существует при всех $$x\in\mathbb{R}$$;
• для $$y=\log_a x$$ область определения: $$x>0$$, значит и формула производной верна при $$x>0$$;
• для $$y=\ln x$$ область определения: $$x>0$$, значит и формула производной верна при $$x>0$$.

Ответ

а) $$y’=a^x\ln a$$, $$x\in\mathbb{R}$$;
б) $$y’=e^x$$, $$x\in\mathbb{R}$$;
в) $$y’=\frac{1}{x\ln a}$$, $$x>0$$;
г) $$y’=\frac{1}{x}$$, $$x>0$$.