Упр.4.37 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) у = xn, n принадлежит N; б) у = x^-n, n принадлежит N.
При каких значениях x справедлива эта формула?

Используем правило дифференцирования степенной функции.

а) Если $$y=x^n,$$ где $$n\in \mathbb{N},$$ то

$$y’ = n x^{n-1}.$$

Эта формула справедлива при любых $$x\in \mathbb{R}.$$

б) Если $$y=x^{-n},$$ где $$n\in \mathbb{N},$$ то

$$y’ = -n x^{-n-1}.$$

Здесь нужно учитывать, что функция $$y=x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}$$ определена только при $$x\ne 0,$$ поэтому и формула производной справедлива при $$x\ne 0.$$

Ответ

а) $$\left(x^n\right)’=n x^{n-1}, \quad x\in \mathbb{R}.$$

б) $$\left(x^{-n}\right)’=-n x^{-n-1}, \quad x\ne 0.$$