Упр.4.35 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) f'(x) = 0; б) f'(x) > 0; в) f'(x) < 0.

Найдём производную функции $$f(x)=\frac{4x}{x^2+1}.$$

По правилу производной частного:

$$ f'(x)=\frac{(4x)'(x^2+1)-4x(x^2+1)’}{(x^2+1)^2} =\frac{4(x^2+1)-4x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}. $$

Упростим:

$$ f'(x)=\frac{4x^2+4-8x^2}{(x^2+1)^2} =\frac{4(1-x^2)}{(x^2+1)^2}. $$

Так как $$ (x^2+1)^2>0 $$ при любом $$x\in\mathbb{R},$$ знак производной определяется числителем $$4(1-x^2).$$

Решаем неравенства:

$$ f'(x)=0 \iff 1-x^2=0 \iff x^2=1 \iff x=\pm 1. $$

$$ f'(x)>0 \iff 1-x^2>0 \iff x^2<1 \iff -1<x<1. $$

$$ f'(x)<0 \iff 1-x^2<0 \iff x^2>1 \iff x<-1 \text{ или } x>1. $$

Ответ

а) $$x=-1,\;1$$;

б) $$-1<x<1$$;

в) $$x<-1$$ или $$x>1$$.