Упр.4.34 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Вычислите значение производной функции $$f(x)$$ в указанной точке $$x_0$$, если:

1. а) $$f(x)=\frac{5}{x^2+1}$$

   Найдём производную по правилу производной частного:
   $$f'(x)=\left(\frac{5}{x^2+1}\right)’=\frac{0\cdot(x^2+1)-5\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=-\frac{10x}{(x^2+1)^2}.$$
   Тогда
   $$f'(0)=-\frac{10\cdot 0}{(0^2+1)^2}=0.$$

2. б) $$f(x)=\frac{-2x}{x^2+2}$$

   $$f'(x)=\frac{(-2)(x^2+2)-(-2x)\cdot 2x}{(x^2+2)^2} =\frac{-2x^2-4+4x^2}{(x^2+2)^2} =\frac{2x^2-4}{(x^2+2)^2}.$$
   Тогда
   $$f'(1)=\frac{2\cdot 1^2-4}{(1^2+2)^2}=\frac{-2}{9}.$$

3. в) $$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+3}$$

   $$f'(x)=\frac{2x(x^2+3)-(x^2-1)\cdot 2x}{(x^2+3)^2} =\frac{2x\bigl((x^2+3)-(x^2-1)\bigr)}{(x^2+3)^2} =\frac{8x}{(x^2+3)^2}.$$
   Тогда
   $$f'(-1)=\frac{8\cdot(-1)}{((-1)^2+3)^2}=-\frac{8}{16}=-\frac{1}{2}.$$

4. г) $$f(x)=\frac{x^2-4}{x^2+4}$$

   $$f'(x)=\frac{2x(x^2+4)-(x^2-4)\cdot 2x}{(x^2+4)^2} =\frac{2x\bigl((x^2+4)-(x^2-4)\bigr)}{(x^2+4)^2} =\frac{16x}{(x^2+4)^2}.$$
   Тогда
   $$f'(-2)=\frac{16\cdot(-2)}{((-2)^2+4)^2}=-\frac{32}{64}=-\frac{1}{2}.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$-\frac{2}{9}$$; в) $$-\frac{1}{2}$$; г) $$-\frac{1}{2}$$.