Упр.4.33 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 4.33 Найдите производную функции в любой точке х ее области определения: *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 4-33 118
Найдём производные по правилу производной частного:
$$\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}.$$
$$y=\frac{1}{x}$$
$$y’=\frac{(1)’ \cdot x-1\cdot (x)’}{x^2}=-\frac{1}{x^2}.$$
$$y=\frac{1}{x^2}$$
$$y’=\frac{(1)’ \cdot x^2-1\cdot (x^2)’}{x^4}=-\frac{2x}{x^4}=-\frac{2}{x^3}.$$
$$y=\frac{1}{x+1}$$
$$y’=\frac{(1)’ \cdot (x+1)-1\cdot (x+1)’}{(x+1)^2}=-\frac{1}{(x+1)^2}.$$
$$y=\frac{x+1}{x-1}$$
$$y’=\frac{(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)’}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2}=-\frac{2}{(x-1)^2}.$$
$$y=\frac{x}{x^2+1}$$
$$y’=\frac{x'(x^2+1)-x(x^2+1)’}{(x^2+1)^2}=\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}.$$
$$y=\frac{4-x^2}{x}$$
$$y’=\frac{(4-x^2)’ \cdot x-(4-x^2)\cdot x’}{x^2}=\frac{(-2x)x-(4-x^2)}{x^2}=-\frac{x^2+4}{x^2}.$$
$$y=\frac{x^2+3x}{x+1}$$
$$y’=\frac{(x^2+3x)'(x+1)-(x^2+3x)(x+1)’}{(x+1)^2}$$
$$=\frac{(2x+3)(x+1)-(x^2+3x)}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x+3}{(x+1)^2}.$$$$y=\frac{x^2+x-7}{x^2+1}$$
$$y’=\frac{(x^2+x-7)'(x^2+1)-(x^2+x-7)(x^2+1)’}{(x^2+1)^2}$$
$$=\frac{(2x+1)(x^2+1)-2x(x^2+x-7)}{(x^2+1)^2}$$
$$=\frac{-x^2+16x+1}{(x^2+1)^2}.$$$$y=\frac{-x^2+7x-8}{x^2-7x+5}$$
$$y’=\frac{(-x^2+7x-8)'(x^2-7x+5)-(-x^2+7x-8)(x^2-7x+5)’}{(x^2-7x+5)^2}$$
$$=\frac{(-2x+7)(x^2-7x+5)-(-x^2+7x-8)(2x-7)}{(x^2-7x+5)^2}$$
$$=\frac{6x-21}{(x^2-7x+5)^2}.$$
Ответ
$$ \begin{aligned} &1)\; y’=-\frac{1}{x^2}, \qquad 2)\; y’=-\frac{2}{x^3}, \qquad 3)\; y’=-\frac{1}{(x+1)^2},\\ &4)\; y’=-\frac{2}{(x-1)^2}, \qquad 5)\; y’=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}, \qquad 6)\; y’=-\frac{x^2+4}{x^2},\\ &7)\; y’=\frac{x^2+2x+3}{(x+1)^2}, \qquad 8)\; y’=\frac{-x^2+16x+1}{(x^2+1)^2}, \qquad 9)\; y’=\frac{6x-21}{(x^2-7x+5)^2}. \end{aligned} $$
