Упр.4.31 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Указание. Представьте данную функцию в виде произведения двух функций.
Например, (x4)’ = (х3 * х)’ = (x3)’ * x + x3 * (x)’ = 3х2 * х + x3 * 1 = 4×3.

Используем правило производной произведения:

$$ (uv)’ = u’v + uv’ $$

Представим каждую степень в виде произведения двух функций.

1. $$ y=x^4=x^3\cdot x $$

   $$ y’=(x^3\cdot x)’=(x^3)’\cdot x+x^3\cdot (x)’=3x^2\cdot x+x^3=4x^3 $$

2. $$ y=x^5=x^3\cdot x^2 $$

   $$ y’=(x^3\cdot x^2)’=(x^3)’\cdot x^2+x^3\cdot (x^2)’=3x^2\cdot x^2+x^3\cdot 2x=3x^4+2x^4=5x^4 $$

3. $$ y=x^6=x^2\cdot x^4 $$

   $$ y’=(x^2\cdot x^4)’=(x^2)’\cdot x^4+x^2\cdot (x^4)’=2x\cdot x^4+x^2\cdot 4x^3=2x^5+4x^5=6x^5 $$

4. $$ y=x^7=x^3\cdot x^4 $$

   $$ y’=(x^3\cdot x^4)’=(x^3)’\cdot x^4+x^3\cdot (x^4)’=3x^2\cdot x^4+x^3\cdot 4x^3=3x^6+4x^6=7x^6 $$

Ответ

а) $$y’=4x^3$$; б) $$y’=5x^4$$; в) $$y’=6x^5$$; г) $$y’=7x^6$$.