Упр.4.3 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- Пусть точка движется прямолинейно по закону: 1) $$s=3t+5$$; 2) $$s=t^2-6t$$. Найдите: а) приращение пути $$\Delta s$$ на промежутке времени от $$t$$ до $$t+\Delta t$$; б) среднюю скорость на промежутке времени от $$t$$ до $$t+\Delta t$$; в) мгновенную скорость в момент времени $$t$$. Для какого из указанных законов мгновенная скорость не зависит от времени и для какого зависит?
1) $$s=3t+5$$
а) Приращение пути:
$$\Delta s=s(t+\Delta t)-s(t)$$
$$\Delta s=\bigl(3(t+\Delta t)+5\bigr)-(3t+5)=3\Delta t$$
б) Средняя скорость:
$$v_{\text{ср}}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{3\Delta t}{\Delta t}=3$$
в) Мгновенная скорость:
$$v_{\text{мгн}}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}3=3$$
2) $$s=t^2-6t$$
а) Приращение пути:
$$\Delta s=s(t+\Delta t)-s(t)$$
$$\Delta s=\bigl((t+\Delta t)^2-6(t+\Delta t)\bigr)-(t^2-6t)$$
$$\Delta s=t^2+2t\Delta t+(\Delta t)^2-6t-6\Delta t-t^2+6t$$
$$\Delta s=\Delta t(2t-6+\Delta t)$$
б) Средняя скорость:
$$v_{\text{ср}}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{\Delta t(2t-6+\Delta t)}{\Delta t}=2t-6+\Delta t$$
в) Мгновенная скорость:
$$v_{\text{мгн}}=\lim_{\Delta t\to 0}(2t-6+\Delta t)=2t-6$$
Мгновенная скорость не зависит от времени для закона $$s=3t+5$$, а для закона $$s=t^2-6t$$ зависит от времени.
Ответ
1) $$\Delta s=3\Delta t$$, $$v_{\text{ср}}=3$$, $$v_{\text{мгн}}=3$$.
2) $$\Delta s=\Delta t(2t-6+\Delta t)$$, $$v_{\text{ср}}=2t-6+\Delta t$$, $$v_{\text{мгн}}=2t-6$$.
Мгновенная скорость постоянна для $$s=3t+5$$ и зависит от времени для $$s=t^2-6t$$.
