Упр.4.25 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) Является ли данная функция непрерывной в каждой точке полной области определения?
б) В каждой ли точке функция имеет производную?
в) Если нет, то в какой точке производная не существует?
г) При каких значениях х производная равна нулю; положительна; отрицательна?

1. а) $$y=\sqrt{x^2+6x+9}=\sqrt{(x+3)^2}=|x+3|.$$

   Область определения: $$x\in(-\infty;+\infty).$$ Функция непрерывна при всех $$x.$$

   Производная не существует в точке излома $$x=-3.$$

   При $$x>-3$$ имеем $$y’=1,$$ при $$x<-3$$ имеем $$y’=-1.$$

2. б) $$y=\sqrt{4x^2-4x+1}=\sqrt{(2x-1)^2}=|2x-1|.$$

   Область определения: $$x\in(-\infty;+\infty).$$ Функция непрерывна при всех $$x.$$

   Производная не существует в точке $$x=\frac12.$$

   При $$x>\frac12$$ имеем $$y’=2,$$ при $$x<\frac12$$ имеем $$y’=-2.$$

3. в) $$y=\sqrt{-x^2+x+6}=\sqrt{(3-x)(x+2)}.$$

   Область определения: $$-2\le x\le 3.$$ На всей области определения функция непрерывна.

   Внутри области определения производная существует при $$-2<x<3,$$ кроме концов области. В точках $$x=-2$$ и $$x=3$$ производная не существует.

   Найдём производную:

   $$y’=\frac{-2x+1}{2\sqrt{-x^2+x+6}}.$$

   Тогда $$y’=0$$ при $$x=\frac12.$$

   Знак производной:

   $$y’>0 \text{ при } x\in\left(-2;\frac12\right),$$

   $$y'<0 \text{ при } x\in\left(\frac12;3\right).$$

4. г) $$y=\sqrt{-x^2+2x+8}=\sqrt{(4-x)(x+2)}.$$

   Область определения: $$-2\le x\le 4.$$ На всей области определения функция непрерывна.

   Производная не существует в точках $$x=-2$$ и $$x=4.$$

   Найдём производную:

   $$y’=\frac{-2x+2}{2\sqrt{-x^2+2x+8}}=\frac{1-x}{\sqrt{-x^2+2x+8}}.$$

   Следовательно, $$y’=0$$ при $$x=1.$$

   Знак производной:

   $$y’>0 \text{ при } x\in(-2;1),$$

   $$y'<0 \text{ при } x\in(1;4).$$

Ответ

а) непрерывна при всех $$x\in\mathbb{R}$$; производная не существует при $$x=-3$$; $$y’>0$$ при $$x>-3,$$ $$y'<0$$ при $$x<-3.$$
б) непрерывна при всех $$x\in\mathbb{R}$$; производная не существует при $$x=\frac12$$; $$y’>0$$ при $$x>\frac12,$$ $$y'<0$$ при $$x<\frac12.$$
в) непрерывна на $$[-2;3]$$; производная не существует при $$x=-2$$ и $$x=3$$; $$y’=0$$ при $$x=\frac12,$$ $$y’>0$$ при $$x\in\left(-2;\frac12\right),$$ $$y'<0$$ при $$x\in\left(\frac12;3\right).$$
г) непрерывна на $$[-2;4]$$; производная не существует при $$x=-2$$ и $$x=4$$; $$y’=0$$ при $$x=1,$$ $$y’>0$$ при $$x\in(-2;1),$$ $$y'<0$$ при $$x\in(1;4).$$