Упр.4.16 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 4.16* Докажите теорему 3.

Докажем теорему методом математической индукции.

При $$n=1$$ имеем

$$\left(A_1u_1\right)’=A_1u_1′,$$

то есть теорема верна.

Пусть она верна при $$n=k$$, то есть

$$\left(A_1u_1+A_2u_2+\dots+A_ku_k\right)’=A_1u_1’+A_2u_2’+\dots+A_ku_k’.$$

Докажем, что тогда она верна и при $$n=k+1$$:

$$ \left(A_1u_1+A_2u_2+\dots+A_ku_k+A_{k+1}u_{k+1}\right)’= $$

$$ =\left(A_1u_1+A_2u_2+\dots+A_ku_k\right)’+\left(A_{k+1}u_{k+1}\right)’= $$

$$ =A_1u_1’+A_2u_2’+\dots+A_ku_k’+A_{k+1}u_{k+1}’. $$

Следовательно, теорема верна для любого $$n$$.

Ответ

Теорема доказана.