Упр.4.12 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 4.12 Найдите производную функции у = x3.

Пусть $$f(x)=x^3.$$ Тогда приращение функции равно

$$\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)=(x+\Delta x)^3-x^3.$$

Раскроем скобки:

$$\Delta f=x^3+3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3-x^3=3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3.$$

Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3}{\Delta x}=3x^2+3x\Delta x+(\Delta x)^2.$$

Переходим к пределу при $$\Delta x\to 0$$:

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\left(3x^2+3x\Delta x+(\Delta x)^2\right)=3x^2.$$

Ответ

$$y’=3x^2.$$