Упр.36 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) Последовательность чисел а1, а2, а3, … устроена следующим образом: а1 = 1, каждое последующее число равно утроенной сумме предыдущих чисел, т. е. а2 = 3а1, а3 = 3(а1 + а2) и т. д. Найдите произведение всех чисел от а1 до а2001.

а) Последовательность задаётся так:

$$a_1=1,\quad a_2=2a_1=2,\quad a_3=2(a_1+a_2)=2(1+2)=6.$$

Далее:

$$a_4=2(a_1+a_2+a_3)=2(1+2+6)=18=2\cdot 3^2,$$
$$a_5=2(a_1+a_2+a_3+a_4)=2(1+2+6+18)=54=2\cdot 3^3.$$

Видно, что

$$a_n=2\cdot 3^{\,n-2}\quad (n\ge 2).$$

Тогда

$$a_{2001}=2\cdot 3^{1999}.$$

Искомое произведение:

$$a_1a_2\cdots a_{2001}=1\cdot 2\cdot 6\cdot 18\cdot \ldots \cdot \left(2\cdot 3^{1999}\right).$$

Соберём множители:

$$a_1a_2\cdots a_{2001}=2^{2000}\cdot 3^{1+2+\cdots+1999}.$$

$$1+2+\cdots+1999=\frac{1999\cdot 2000}{2}=1999000.$$

Значит,

$$a_1a_2\cdots a_{2001}=2^{2000}\cdot 3^{1999000}.$$

б) Аналогично:

$$a_1=1,\quad a_2=3a_1=3,\quad a_3=3(a_1+a_2)=3(1+3)=12=3\cdot 4.$$

Далее:

$$a_4=3(a_1+a_2+a_3)=3(1+3+12)=48=3\cdot 4^2,$$
$$a_5=3(a_1+a_2+a_3+a_4)=3(1+3+12+48)=192=3\cdot 4^3.$$

Следовательно,

$$a_n=3\cdot 4^{\,n-2}\quad (n\ge 2),$$

и потому

$$a_{2001}=3\cdot 4^{1999}.$$

Тогда

$$a_1a_2\cdots a_{2001}=1\cdot 3\cdot 12\cdot 48\cdot \ldots \cdot \left(3\cdot 4^{1999}\right).$$

Собираем множители:

$$a_1a_2\cdots a_{2001}=3^{2000}\cdot 4^{1+2+\cdots+1999}.$$

$$1+2+\cdots+1999=\frac{1999\cdot 2000}{2}=1999000.$$

Значит,

$$a_1a_2\cdots a_{2001}=3^{2000}\cdot 4^{1999000}.$$

Ответ

а) $$2^{2000}\cdot 3^{1999000}$$
б) $$3^{2000}\cdot 4^{1999000}$$