Упр.36 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) Последовательность чисел $$a_1, a_2, a_3, \ldots$$ устроена следующим образом: $$a_1=1$$, каждое последующее число равно удвоенной сумме предыдущих чисел, т. е. $$a_2=2a_1$$, $$a_3=2(a_1+a_2)$$ и т. д. Найдите произведение всех чисел от $$a_1$$ до $$a_{2001}$$.
б) Последовательность чисел $$a_1, a_2, a_3, \ldots$$ устроена следующим образом: $$a_1=1$$, каждое последующее число равно утроенной сумме предыдущих чисел, т. е. $$a_2=3a_1$$, $$a_3=3(a_1+a_2)$$ и т. д. Найдите произведение всех чисел от $$a_1$$ до $$a_{2001}$$.
а) Последовательность задаётся так:
$$a_1=1,\quad a_2=2a_1=2,\quad a_3=2(a_1+a_2)=2(1+2)=6.$$
Далее:
$$a_4=2(a_1+a_2+a_3)=2(1+2+6)=18=2\cdot 3^2,$$
$$a_5=2(a_1+a_2+a_3+a_4)=2(1+2+6+18)=54=2\cdot 3^3.$$
Видно, что
$$a_n=2\cdot 3^{\,n-2}\quad (n\ge 2).$$
Тогда
$$a_{2001}=2\cdot 3^{1999}.$$
Искомое произведение:
$$a_1a_2\cdots a_{2001}=1\cdot 2\cdot 6\cdot 18\cdot \ldots \cdot \left(2\cdot 3^{1999}\right).$$
Соберём множители:
$$a_1a_2\cdots a_{2001}=2^{2000}\cdot 3^{1+2+\cdots+1999}.$$
$$1+2+\cdots+1999=\frac{1999\cdot 2000}{2}=1999000.$$
Значит,
$$a_1a_2\cdots a_{2001}=2^{2000}\cdot 3^{1999000}.$$
б) Аналогично:
$$a_1=1,\quad a_2=3a_1=3,\quad a_3=3(a_1+a_2)=3(1+3)=12=3\cdot 4.$$
Далее:
$$a_4=3(a_1+a_2+a_3)=3(1+3+12)=48=3\cdot 4^2,$$
$$a_5=3(a_1+a_2+a_3+a_4)=3(1+3+12+48)=192=3\cdot 4^3.$$
Следовательно,
$$a_n=3\cdot 4^{\,n-2}\quad (n\ge 2),$$
и потому
$$a_{2001}=3\cdot 4^{1999}.$$
Тогда
$$a_1a_2\cdots a_{2001}=1\cdot 3\cdot 12\cdot 48\cdot \ldots \cdot \left(3\cdot 4^{1999}\right).$$
Собираем множители:
$$a_1a_2\cdots a_{2001}=3^{2000}\cdot 4^{1+2+\cdots+1999}.$$
$$1+2+\cdots+1999=\frac{1999\cdot 2000}{2}=1999000.$$
Значит,
$$a_1a_2\cdots a_{2001}=3^{2000}\cdot 4^{1999000}.$$
Ответ
а) $$2^{2000}\cdot 3^{1999000}$$
б) $$3^{2000}\cdot 4^{1999000}$$
