Упр.35 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- а) Найдите арифметическую прогрессию, в которой сумма членов, сколько бы, начиная с первого, их ни взять, всегда равна утроенному квадрату числа этих же членов.
б) Найдите сумму $$n$$ первых членов ряда $$7+77+777+\ldots$$.
а) Пусть $$a_1, a_2, \dots, a_n$$ — искомая арифметическая прогрессия. По условию сумма первых $$n$$ членов равна утроенному квадрату числа членов:
$$S_n=3n^2.$$
Тогда
$$a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-3(n-1)^2=3(2n-1).$$
Значит,
$$a_1=3,\qquad d=a_2-a_1=9-3=6.$$
Искомая прогрессия:
$$3,\ 9,\ 15,\ 21,\dots$$
б) Рассмотрим сумму первых $$n$$ членов ряда:
$$S_n=7+77+777+\dots$$
Запишем каждый член в виде суммы:
$$7,\quad 77=7\cdot 10+7,\quad 777=7\cdot 10^2+7\cdot 10+7,\ \dots$$
Тогда
$$S_n=7(1+10+10^2+\dots+10^{n-1})+7(1+10+10^2+\dots+10^{n-2})+\dots+7.$$
Сумма каждой скобки — геометрическая прогрессия:
$$1+10+\dots+10^{k-1}=\frac{10^k-1}{9}.$$
Поэтому
$$S_n=7\cdot \frac{10^n-1}{9}+7\cdot \frac{10^{n-1}-1}{9}+\dots+7\cdot \frac{10-1}{9}.$$
Складывая, получаем
$$S_n=\frac{7}{9}\bigl((10^n-1)+(10^{n-1}-1)+\dots+(10-1)\bigr).$$
После упрощения:
$$S_n=\frac{7}{9}\left(10^n+10^{n-1}+\dots+10- n\right).$$
Но удобнее записать ответ в виде
$$S_n=\frac{7}{9}\left(10^n-1\right)+\frac{7}{9}\left(10^{n-1}-1\right)+\dots+\frac{7}{9}(10-1).$$
Итоговая формула суммы первых $$n$$ членов:
$$S_n=\frac{7}{9}\left(10^n+10^{n-1}+\dots+10\right)-\frac{7n}{9}.$$
Так как
$$10^n+10^{n-1}+\dots+10=10\cdot \frac{10^n-1}{9},$$
то
$$S_n=\frac{70}{81}(10^n-1)-\frac{7n}{9}.$$
Ответ
а) $$a_1=3,\ d=6.$$
б) $$S_n=\frac{70}{81}(10^n-1)-\frac{7n}{9}.$$
