Упр.35 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) Найдите сумму п первых членов ряда 7 + 77 + 777 + … .

а) Пусть $$a_1, a_2, \dots, a_n$$ — искомая арифметическая прогрессия. По условию сумма первых $$n$$ членов равна утроенному квадрату числа членов:

$$S_n=3n^2.$$

Тогда

$$a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-3(n-1)^2=3(2n-1).$$

Значит,

$$a_1=3,\qquad d=a_2-a_1=9-3=6.$$

Искомая прогрессия:

$$3,\ 9,\ 15,\ 21,\dots$$

б) Рассмотрим сумму первых $$n$$ членов ряда:

$$S_n=7+77+777+\dots$$

Запишем каждый член в виде суммы:

$$7,\quad 77=7\cdot 10+7,\quad 777=7\cdot 10^2+7\cdot 10+7,\ \dots$$

Тогда

$$ S_n=7(1+10+10^2+\dots+10^{n-1})+7(1+10+10^2+\dots+10^{n-2})+\dots+7. $$

Сумма каждой скобки — геометрическая прогрессия:

$$1+10+\dots+10^{k-1}=\frac{10^k-1}{9}.$$

Поэтому

$$ S_n=7\cdot \frac{10^n-1}{9}+7\cdot \frac{10^{n-1}-1}{9}+\dots+7\cdot \frac{10-1}{9}. $$

Складывая, получаем

$$ S_n=\frac{7}{9}\bigl((10^n-1)+(10^{n-1}-1)+\dots+(10-1)\bigr). $$

После упрощения:

$$ S_n=\frac{7}{9}\left(10^n+10^{n-1}+\dots+10- n\right). $$

Но удобнее записать ответ в виде

$$ S_n=\frac{7}{9}\left(10^n-1\right)+\frac{7}{9}\left(10^{n-1}-1\right)+\dots+\frac{7}{9}(10-1). $$

Итоговая формула суммы первых $$n$$ членов:

$$ S_n=\frac{7}{9}\left(10^n+10^{n-1}+\dots+10\right)-\frac{7n}{9}. $$

Так как

$$10^n+10^{n-1}+\dots+10=10\cdot \frac{10^n-1}{9},$$

то

$$ S_n=\frac{70}{81}(10^n-1)-\frac{7n}{9}. $$

Ответ

а) $$a_1=3,\ d=6.$$

б) $$S_n=\frac{70}{81}(10^n-1)-\frac{7n}{9}.$$