Упр.34 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) Первый, четвертый и пятый члены арифметической прогрессии одновременно являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии. Найдите все значения, которые может принимать знаменатель геометрической прогрессии.

а) Пусть члены арифметической прогрессии обозначены через $$a_1, a_2, a_3, a_4, \dots$$, а члены геометрической прогрессии — через $$b_1, b_2, b_3, \dots$$. По условию

$$a_1=b_1,\quad a_2=b_2,\quad a_4=b_3.$$

Тогда для арифметической прогрессии

$$d=a_2-a_1=b_2-b_1=b_1(q-1),$$

а также

$$2d=a_4-a_2=b_3-b_2=b_1q^2-b_1q=b_1q(q-1).$$

Подставим выражение для $$d$$:

$$2b_1(q-1)=b_1q(q-1).$$

Получаем

$$b_1(q-1)(2-q)=0.$$

Следовательно,

$$q=1 \quad \text{или} \quad q=2.$$

б) Теперь пусть

$$a_1=b_1,\quad a_4=b_2,\quad a_5=b_3.$$

Для арифметической прогрессии

$$3d=a_4-a_1=b_2-b_1=b_1(q-1),$$

значит

$$d=\frac{b_1(q-1)}{3}.$$

С другой стороны,

$$d=a_5-a_4=b_3-b_2=b_1q^2-b_1q=b_1q(q-1).$$

Приравниваем:

$$\frac{b_1(q-1)}{3}=b_1q(q-1).$$

Отсюда

$$b_1(q-1)(1-3q)=0.$$

Следовательно,

$$q=1 \quad \text{или} \quad q=\frac13.$$

Ответ

а) $$1,\ 2$$

б) $$1,\ \frac13$$