Упр.31 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, для которой сумма первых пяти членов с нечётными номерами на единицу больше суммы первых пяти членов с чётными номерами и равна квадрату первого члена.

б) Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, для которой сумма первых четырёх членов с нечётными номерами на единицу меньше суммы первых четырёх членов с чётными номерами и равна взятому с отрицательным знаком квадрату первого члена.

Подробный ответ

а) Пусть $$a_1$$ — первый член, $$d$$ — разность арифметической прогрессии.

Сумма первых пяти членов с нечётными номерами:

$$S_{\text{неч}}=a_1+a_3+a_5+a_7+a_9$$

Сумма первых пяти членов с чётными номерами:

$$S_{\text{чёт}}=a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}$$

По условию:

$$S_{\text{неч}}-S_{\text{чёт}}=1,\qquad S_{\text{неч}}=a_1^2.$$

Запишем суммы через $$a_1$$ и $$d$$:

$$\begin{aligned} S_{\text{неч}}&=(a_1)+(a_1+2d)+(a_1+4d)+(a_1+6d)+(a_1+8d)=5a_1+20d,\\ S_{\text{чёт}}&=(a_1+d)+(a_1+3d)+(a_1+5d)+(a_1+7d)+(a_1+9d)=5a_1+25d. \end{aligned}$$

Тогда

$$\begin{cases} (5a_1+20d)-(5a_1+25d)=1,\\ 5a_1+20d=a_1^2. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$-5d=1,\qquad d=-\frac15.$$

Подставим во второе:

$$5a_1+20\left(-\frac15\right)=a_1^2$$
$$5a_1-4=a_1^2$$
$$a_1^2-5a_1+4=0$$
$$(a_1-1)(a_1-4)=0.$$

Следовательно,

$$a_1=1 \text{ или } a_1=4.$$

Тогда

$$a_1=1,\ d=-\frac15;\qquad a_1=4,\ d=-\frac15.$$

б) Пусть снова $$a_1$$ — первый член, $$d$$ — разность прогрессии.

Сумма первых четырёх членов с нечётными номерами:

$$S_{\text{неч}}=a_1+a_3+a_5+a_7,$$

сумма первых четырёх членов с чётными номерами:

$$S_{\text{чёт}}=a_2+a_4+a_6+a_8.$$

По условию:

$$S_{\text{неч}}=S_{\text{чёт}}-1,\qquad S_{\text{неч}}=-a_1^2.$$

Вычислим суммы:

$$\begin{aligned} S_{\text{неч}}&=a_1+(a_1+2d)+(a_1+4d)+(a_1+6d)=4a_1+12d,\\ S_{\text{чёт}}&=(a_1+d)+(a_1+3d)+(a_1+5d)+(a_1+7d)=4a_1+16d. \end{aligned}$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} 4a_1+12d=4a_1+16d-1,\\ 4a_1+12d=-a_1^2. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$-4d=-1,\qquad d=\frac14.$$

Подставим во второе:

$$4a_1+12\cdot\frac14=-a_1^2$$
$$4a_1+3=-a_1^2$$
$$a_1^2+4a_1+3=0$$
$$(a_1+1)(a_1+3)=0.$$

Значит,

$$a_1=-1 \text{ или } a_1=-3.$$

Тогда

$$a_1=-1,\ d=\frac14;\qquad a_1=-3,\ d=\frac14.$$