Упр.3.8 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- 3.8. Постройте график данной функции $$y=f(x)$$. Найдите функцию $$y=\varphi(x)$$, обратную к данной функции, и постройте её график:
а) $$y=\frac{4}{x-2}$$, $$x\in(2;+\infty)$$;
б) $$y=-\frac{4}{x-2}$$, $$x\in(-\infty;2)$$;
в) $$y=1-\frac{6}{x+2}$$, $$x\in(-2;+\infty)$$;
г) $$y=1+\frac{6}{x-4}$$, $$x\in(-\infty;4)$$;
д) $$y=\frac{1}{1+x^2}$$, $$x\in[0;+\infty)$$;
е) $$y=\frac{1}{1+x^2}$$, $$x\in(-\infty;0]$$.
а) $$y=\frac{4}{x-2}, \quad x\in(2;+\infty).$$
Выразим $$x$$ через $$y$$:
$$x-2=\frac{4}{y}, \qquad x=\frac{4}{y}+2.$$
Заменяя $$x$$ на $$y$$, а $$y$$ на $$x$$, получаем обратную функцию:
$$y=\frac{4}{x}+2, \quad x\in(0;+\infty).$$
График обратной функции получается отражением графика исходной относительно прямой $$y=x$$.
б) $$y=-\frac{4}{x-2}, \quad x\in(-\infty;2).$$
Найдём обратную функцию:
$$x-2=-\frac{4}{y}, \qquad x=-\frac{4}{y}+2.$$
Следовательно,
$$y=-\frac{4}{x}+2, \quad x\in(0;+\infty).$$
График обратной функции симметричен графику исходной относительно прямой $$y=x$$.
в) $$y=1-\frac{6}{x+2}, \quad x\in(-2;+\infty).$$
Выразим $$x$$ через $$y$$:
$$1-y=\frac{6}{x+2}, \qquad x+2=\frac{6}{1-y}, \qquad x=\frac{6}{1-y}-2.$$
Тогда обратная функция:
$$y=\frac{6}{1-x}-2, \quad x\in(-\infty;1).$$
г) $$y=1+\frac{6}{x-4}, \quad x\in(-\infty;4).$$
Найдём обратную функцию:
$$y-1=\frac{6}{x-4}, \qquad x-4=\frac{6}{y-1}, \qquad x=\frac{6}{y-1}+4.$$
Следовательно,
$$y=\frac{6}{x-1}+4, \quad x\in(1;+\infty).$$
д) $$y=\frac{1}{1+x^2}, \quad x\in[0;+\infty).$$
Так как $$x\ge 0$$, то
$$1+x^2=\frac{1}{y}, \qquad x^2=\frac{1}{y}-1, \qquad x=\sqrt{\frac{1}{y}-1}.$$
Значит, обратная функция:
$$y=\sqrt{\frac{1}{x}-1}, \quad x\in(0;1].$$
е) $$y=\frac{1}{1+x^2}, \quad x\in(-\infty;0].$$
Теперь $$x\le 0$$, поэтому
$$x=-\sqrt{\frac{1}{y}-1}.$$
Следовательно,
$$y=-\sqrt{\frac{1}{x}-1}, \quad x\in(0;1].$$
Ответ
а) $$y=\frac{4}{x}+2, \quad x\in(0;+\infty);$$
б) $$y=-\frac{4}{x}+2, \quad x\in(0;+\infty);$$
в) $$y=\frac{6}{1-x}-2, \quad x\in(-\infty;1);$$
г) $$y=\frac{6}{x-1}+4, \quad x\in(1;+\infty);$$
д) $$y=\sqrt{\frac{1}{x}-1}, \quad x\in(0;1];$$
е) $$y=-\sqrt{\frac{1}{x}-1}, \quad x\in(0;1].$$
