Упр.3.8 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

3.8 а) y=4/(x-2), x принадлежит (2;+бесконечность);
б) y=-4/(x-2), x принадлежит (-бесконечность;2);
в) y=1-6/(x+2), x принадлежит (-2;+бесконечность);
г) y=1+ 6/(x-4), x принадлежит (-бесконечность;4);
д) y=1/(1+x2), x принадлежит [0;+бесконечность);
е) y=1/(1+x2), x принадлежит (-бесконечность;0].

а) $$y=\frac{4}{x-2}, \quad x\in(2;+\infty).$$

Выразим $$x$$ через $$y$$:

$$x-2=\frac{4}{y}, \qquad x=\frac{4}{y}+2.$$

Заменяя $$x$$ на $$y$$, а $$y$$ на $$x$$, получаем обратную функцию:

$$y=\frac{4}{x}+2, \quad x\in(0;+\infty).$$

График обратной функции получается отражением графика исходной относительно прямой $$y=x$$.

б) $$y=-\frac{4}{x-2}, \quad x\in(-\infty;2).$$

Найдём обратную функцию:

$$x-2=-\frac{4}{y}, \qquad x=-\frac{4}{y}+2.$$

Следовательно,

$$y=-\frac{4}{x}+2, \quad x\in(0;+\infty).$$

График обратной функции симметричен графику исходной относительно прямой $$y=x$$.

в) $$y=1-\frac{6}{x+2}, \quad x\in(-2;+\infty).$$

Выразим $$x$$ через $$y$$:

$$1-y=\frac{6}{x+2}, \qquad x+2=\frac{6}{1-y}, \qquad x=\frac{6}{1-y}-2.$$

Тогда обратная функция:

$$y=\frac{6}{1-x}-2, \quad x\in(-\infty;1).$$

г) $$y=1+\frac{6}{x-4}, \quad x\in(-\infty;4).$$

Найдём обратную функцию:

$$y-1=\frac{6}{x-4}, \qquad x-4=\frac{6}{y-1}, \qquad x=\frac{6}{y-1}+4.$$

Следовательно,

$$y=\frac{6}{x-1}+4, \quad x\in(1;+\infty).$$

д) $$y=\frac{1}{1+x^2}, \quad x\in[0;+\infty).$$

Так как $$x\ge 0$$, то

$$1+x^2=\frac{1}{y}, \qquad x^2=\frac{1}{y}-1, \qquad x=\sqrt{\frac{1}{y}-1}.$$

Значит, обратная функция:

$$y=\sqrt{\frac{1}{x}-1}, \quad x\in(0;1].$$

е) $$y=\frac{1}{1+x^2}, \quad x\in(-\infty;0].$$

Теперь $$x\le 0$$, поэтому

$$x=-\sqrt{\frac{1}{y}-1}.$$

Следовательно,

$$y=-\sqrt{\frac{1}{x}-1}, \quad x\in(0;1].$$

Ответ

а) $$y=\frac{4}{x}+2, \quad x\in(0;+\infty);$$
б) $$y=-\frac{4}{x}+2, \quad x\in(0;+\infty);$$
в) $$y=\frac{6}{1-x}-2, \quad x\in(-\infty;1);$$
г) $$y=\frac{6}{x-1}+4, \quad x\in(1;+\infty);$$
д) $$y=\sqrt{\frac{1}{x}-1}, \quad x\in(0;1];$$
е) $$y=-\sqrt{\frac{1}{x}-1}, \quad x\in(0;1].$$