Упр.3.5 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите функцию $$y=\varphi(x)$$, обратную к данной функции $$y=f(x)$$, постройте графики обеих функций в одной системе координат.

1. а) Дана функция $$y=x^2,\quad x\in[-1;0].$$

   Найдём обратную, выразив $$x$$ через $$y$$:

   $$x=\pm\sqrt{y}.$$

   Так как $$x\in[-1;0]$$, берём отрицательную ветвь:

   $$\varphi(x)=-\sqrt{x},\quad x\in[0;1].$$

   Графики функций $$y=x^2$$ и $$y=-\sqrt{x}$$ симметричны относительно прямой $$y=x$$.

2. б) Дана функция $$y=x^3,\quad x\in[0;2].$$

   Выразим $$x$$ через $$y$$:

   $$x=\sqrt[3]{y}.$$

   Следовательно, обратная функция:

   $$\varphi(x)=\sqrt[3]{x},\quad x\in[0;8].$$

   Графики функций $$y=x^3$$ и $$y=\sqrt[3]{x}$$ симметричны относительно прямой $$y=x$$.

3. в) Дана функция $$y=\frac{1}{1+x},\quad x\in[0;+\infty).$$

   Найдём обратную:

   $$1+x=\frac{1}{y},\qquad x=\frac{1}{y}-1.$$

   Меняем местами $$x$$ и $$y$$:

   $$\varphi(x)=\frac{1}{x}-1.$$

   Так как при $$x\in[0;+\infty)$$ значение $$y$$ меняется от $$1$$ до $$0$$, то область определения обратной функции:

   $$x\in(0;1].$$

4. г) Дана функция $$y=\frac{1}{1+x},\quad x\in(-\infty;-2).$$

   Аналогично получаем:

   $$x=\frac{1}{y}-1,$$

   значит, обратная функция

   $$\varphi(x)=\frac{1}{x}-1.$$

   При $$x\in(-\infty;-2)$$ имеем $$y\in(-1;0)$$, поэтому

   $$\varphi(x)=\frac{1}{x}-1,\quad x\in(-1;0).$$

5. д) Дана функция $$y=6x+5,\quad x\in(-\infty;+\infty).$$

   Выразим $$x$$ через $$y$$:

   $$x=\frac{y-5}{6}.$$

   Следовательно, обратная функция:

   $$\varphi(x)=\frac{x-5}{6}.$$

Ответ

а) $$\varphi(x)=-\sqrt{x},\ x\in[0;1]$$;
б) $$\varphi(x)=\sqrt[3]{x},\ x\in[0;8]$$;
в) $$\varphi(x)=\frac{1}{x}-1,\ x\in(0;1]$$;
г) $$\varphi(x)=\frac{1}{x}-1,\ x\in(-1;0)$$;
д) $$\varphi(x)=\frac{x-5}{6}.$$