Упр.3.5 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 3.5 В задании 3.4 найдите функцию y = фи (x), обратную к данной функции у = f(x), постройте графики обеих функций в одной системе координат. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 3-5 118
а) Дана функция $$y=x^2,\quad x\in[-1;0].$$
Найдём обратную, выразив $$x$$ через $$y$$:
$$x=\pm\sqrt{y}.$$
Так как $$x\in[-1;0]$$, берём отрицательную ветвь:
$$\varphi(x)=-\sqrt{x},\quad x\in[0;1].$$
Графики функций $$y=x^2$$ и $$y=-\sqrt{x}$$ симметричны относительно прямой $$y=x$$.
б) Дана функция $$y=x^3,\quad x\in[0;2].$$
Выразим $$x$$ через $$y$$:
$$x=\sqrt[3]{y}.$$
Следовательно, обратная функция:
$$\varphi(x)=\sqrt[3]{x},\quad x\in[0;8].$$
Графики функций $$y=x^3$$ и $$y=\sqrt[3]{x}$$ симметричны относительно прямой $$y=x$$.
в) Дана функция $$y=\frac{1}{1+x},\quad x\in[0;+\infty).$$
Найдём обратную:
$$1+x=\frac{1}{y},\qquad x=\frac{1}{y}-1.$$
Меняем местами $$x$$ и $$y$$:
$$\varphi(x)=\frac{1}{x}-1.$$
Так как при $$x\in[0;+\infty)$$ значение $$y$$ меняется от $$1$$ до $$0$$, то область определения обратной функции:
$$x\in(0;1].$$
г) Дана функция $$y=\frac{1}{1+x},\quad x\in(-\infty;-2).$$
Аналогично получаем:
$$x=\frac{1}{y}-1,$$
значит, обратная функция
$$\varphi(x)=\frac{1}{x}-1.$$
При $$x\in(-\infty;-2)$$ имеем $$y\in(-1;0)$$, поэтому
$$\varphi(x)=\frac{1}{x}-1,\quad x\in(-1;0).$$
д) Дана функция $$y=6x+5,\quad x\in(-\infty;+\infty).$$
Выразим $$x$$ через $$y$$:
$$x=\frac{y-5}{6}.$$
Следовательно, обратная функция:
$$\varphi(x)=\frac{x-5}{6}.$$
Ответ
а) $$\varphi(x)=-\sqrt{x},\ x\in[0;1]$$;
б) $$\varphi(x)=\sqrt[3]{x},\ x\in[0;8]$$;
в) $$\varphi(x)=\frac{1}{x}-1,\ x\in(0;1]$$;
г) $$\varphi(x)=\frac{1}{x}-1,\ x\in(-1;0)$$;
д) $$\varphi(x)=\frac{x-5}{6}.$$
