Упр.3.4 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите функцию $$x=\varphi(y)$$, обратную к данной функции $$y=f(x)$$, и постройте графики обеих функций в одной системе координат: а) $$y=x^2$$, $$x\in[-1;0]$$; б) $$y=x^3$$, $$x\in[0;2]$$; в) $$y=\frac{1}{1+x}$$, $$x\in[0;+\infty)$$; г) $$y=\frac{1}{1+x}$$, $$x\in(-\infty;-2)$$; е) $$y=-x+1$$, $$x\in(-\infty;+\infty)$$.

1. а) $$y=x^2,\quad x\in[-1;0]$$

   Так как на данном промежутке $$x\le 0$$, то при нахождении обратной функции берём отрицательный корень:

   $$x=-\sqrt{y}$$

   При $$x\in[-1;0]$$ значения функции: $$y\in[0;1]$$. Значит, обратная функция:

   $$x=-\sqrt{y},\quad y\in[0;1]$$

2. б) $$y=x^3,\quad x\in[0;2]$$

   Кубическая функция взаимно однозначна, поэтому:

   $$x=\sqrt[3]{y}$$

   При $$x\in[0;2]$$ получаем $$y\in[0;8]$$. Следовательно,

   $$x=\sqrt[3]{y},\quad y\in[0;8]$$

3. в) $$y=\frac{1}{1+x},\quad x\in[0;+\infty)$$

   Выразим $$x$$ через $$y$$:

   $$1+x=\frac{1}{y}$$

   $$x=\frac{1}{y}-1$$

   При $$x\ge 0$$ имеем $$0<y\le 1$$. Значит,

   $$x=\frac{1}{y}-1,\quad y\in(0;1]$$

4. г) $$y=\frac{1}{1+x},\quad x\in(-\infty;-2)$$

   На этом промежутке $$1+x<0$$, значит $$y<0$$. Выразим $$x$$:

   $$1+x=\frac{1}{y}$$

   $$x=\frac{1}{y}-1$$

   При $$x<-2$$ получаем $$-1<y<0$$. Следовательно,

   $$x=\frac{1}{y}-1,\quad y\in(-1;0)$$

5. е) $$y=-x+1,\quad x\in(-\infty;+\infty)$$

   Меняем местами переменные и выражаем $$x$$:

   $$x=-y+1$$

   $$x=1-y$$

   Итак, обратная функция:

   $$x=1-y,\quad y\in(-\infty;+\infty)$$

Ответ

а) $$x=-\sqrt{y},\ y\in[0;1]$$;
б) $$x=\sqrt[3]{y},\ y\in[0;8]$$;
в) $$x=\frac{1}{y}-1,\ y\in(0;1]$$;
г) $$x=\frac{1}{y}-1,\ y\in(-1;0)$$;
е) $$x=1-y,\ y\in(-\infty;+\infty)$$.