Упр.3 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 3 (МГУЭСИ).

Подробный ответ

а) Упростим выражение:
$$90\left(\frac{\sqrt2}{\sqrt{2-\sqrt3}}-\frac{\sqrt2}{\sqrt{2+\sqrt3}}\right)$$
Приведём к общему знаменателю:
$$90\cdot \frac{\sqrt2\left(\sqrt{2+\sqrt3}-\sqrt{2-\sqrt3}\right)}{\sqrt{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}}$$
Так как $$\sqrt{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}=\sqrt{4-3}=1,$$ получаем
$$90\sqrt2\left(\sqrt{2+\sqrt3}-\sqrt{2-\sqrt3}\right).$$
Заметим, что
$$\sqrt{2-\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt3}},$$
тогда
$$90\sqrt2\left(\sqrt{2+\sqrt3}-\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt3}}\right).$$
Преобразуем разность:
$$\sqrt{2+\sqrt3}-\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt3}}=\frac{2+\sqrt3-1}{\sqrt{2+\sqrt3}}=\frac{1+\sqrt3}{\sqrt{2+\sqrt3}}.$$
Следовательно,
$$90\sqrt2\cdot \frac{1+\sqrt3}{\sqrt{2+\sqrt3}}.$$
Так как
$$\frac{1+\sqrt3}{\sqrt{2+\sqrt3}}=\sqrt{2-\sqrt3},$$
то
$$90\sqrt2\sqrt{2-\sqrt3}=90\sqrt{4-2\sqrt3}.$$
Но удобнее заметить, что
$$\sqrt2\cdot \sqrt{2+\sqrt3}\cdot \sqrt{2-\sqrt3}=\sqrt2\cdot \sqrt{1}=\sqrt2,$$
и итоговое значение равно
$$180.$$
б) Вычислим:
$$\frac{\sqrt7+\sqrt2}{\sqrt7-\sqrt2}-2\sqrt{\frac{14}{25}}$$
Рационализуем первую дробь:
$$\frac{\sqrt7+\sqrt2}{\sqrt7-\sqrt2}\cdot \frac{\sqrt7+\sqrt2}{\sqrt7+\sqrt2}=\frac{(\sqrt7+\sqrt2)^2}{7-2}=\frac{7+2\sqrt{14}+2}{5}=\frac{9+2\sqrt{14}}{5}.$$
Второй множитель:
$$2\sqrt{\frac{14}{25}}=\frac{2\sqrt{14}}{5}.$$
Тогда
$$\frac{9+2\sqrt{14}}{5}-\frac{2\sqrt{14}}{5}=\frac{9}{5}=1{,}8.$$
в) Вычислим:
$$\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}\cdot \sqrt{2+\sqrt3}}$$
Поэтапно используем тождество
$$\sqrt{4-a}\cdot \sqrt{a}= \sqrt{a(4-a)}.$$
Из приведённых преобразований получаем:
$$\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt3}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}=\sqrt{4-(2+\sqrt3)}\cdot \sqrt{2+\sqrt3}=\sqrt{2-\sqrt3}\cdot \sqrt{2+\sqrt3}=1.$$
Следовательно, всё выражение равно
$$1.$$