Упр.3.22 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

a) cos (arccos 4/5 + arccos 12/13 arccos 3/5);
б) sin (arcsin 3/5 + arcsin 5/13 + arcsin 4/5);
в) ctg (arctg 1/3 + arctg 1/4 + arctg 2/9).

Подробный ответ

а) Обозначим $$A=\arccos \frac45,\quad B=\arccos \frac{12}{13},\quad C=\arccos \frac35.$$ Тогда

$$\cos(A+B-C)=\cos(A+B)\cos C+\sin(A+B)\sin C.$$

Найдём значения синусов:
$$\sin A=\frac35,\quad \sin B=\frac5{13},\quad \sin C=\frac45.$$

Сначала вычислим
$$\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B=\frac45\cdot\frac{12}{13}-\frac35\cdot\frac5{13}=\frac{33}{65},$$
$$\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B=\frac35\cdot\frac{12}{13}+\frac45\cdot\frac5{13}=\frac{56}{65}.$$

Тогда
$$\cos(A+B-C)=\frac{33}{65}\cdot\frac35+\frac{56}{65}\cdot\frac45=\frac{99+224}{325}=\frac{323}{325}=\frac{?}{?}$$

Но здесь удобнее сразу использовать формулу для трёх углов в виде

$$\cos(A+B-C)=\cos(A+B)\cos C+\sin(A+B)\sin C.$$

Подставляя найденные значения, получаем
$$\cos(A+B-C)=\frac{33}{65}\cdot\frac35+\frac{56}{65}\cdot\frac45=\frac{99+224}{325}=\frac{323}{325}.$$

б) Обозначим $$A=\arcsin \frac35,\quad B=\arcsin \frac5{13},\quad C=\arcsin \frac45.$$ Тогда

$$\sin(A+B+C)=\sin(A+B)\cos C+\cos(A+B)\sin C.$$

Найдём:
$$\cos A=\frac45,\quad \cos B=\frac{12}{13},\quad \cos C=\frac35.$$

$$\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B=\frac35\cdot\frac{12}{13}+\frac45\cdot\frac5{13}=\frac{56}{65},$$
$$\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B=\frac45\cdot\frac{12}{13}-\frac35\cdot\frac5{13}=\frac{33}{65}.$$

Тогда
$$\sin(A+B+C)=\frac{56}{65}\cdot\frac35+\frac{33}{65}\cdot\frac45=\frac{168+132}{325}=\frac{300}{325}=\frac{12}{13}.$$

в) Обозначим $$x=\arctg \frac13+\arctg \frac14+\arctg \frac29.$$ Тогда

$$\tg x=\frac{\tg\left(\arctg \frac13+\arctg \frac14\right)+\frac29}{1-\tg\left(\arctg \frac13+\arctg \frac14\right)\cdot \frac29}.$$

Сначала
$$\tg\left(\arctg \frac13+\arctg \frac14\right)=\frac{\frac13+\frac14}{1-\frac13\cdot\frac14}=\frac{7/12}{11/12}=\frac7{11}.$$

Тогда
$$\tg x=\frac{\frac7{11}+\frac29}{1-\frac7{11}\cdot\frac29}=\frac{\frac{85}{99}}{\frac{85}{99}}=1.$$

Так как все три угла острые, то $$x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right),$$ значит
$$x=\frac{\pi}{4}.$$
Следовательно,
$$\ctg x=1.$$