Упр.3.19 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) для любого х принадлежит [-1; 1] справедливы равенства
cos (arccos х) = х, sin (arccos х) = корень (1 — х2);
б) для любого х принадлежит (-1; 1) справедливо равенство
ctg (arccos х) = x/корень (1-x2);
в) для любого x принадлежит [-1; 0) объединение (0; 1] справедливо равенство
tg (arccos х) = корень (1-x2)/x;
г) для любого х принадлежит R справедливы равенства
tg (arctg х) = х, sin (arctg х) = x/корень (1+x2), cos (arctg x) = 1/корень (1+x2);
д) для любого x =/0 справедливо равенство
ctg (arctg х) = 1/x;
е) для любого х принадлежит R справедливы равенства ctg(arcctgx) = x, sin(arcctgх) = 1/корень (1+x2), cos(arcctgх) = x/корень (1+x2);
ж) для любого х =/ 0 справедливо равенство
tg (arcctg х) = tg(arcctgx)=1/x.

1. Пусть $$\alpha=\arccos x.$$ Тогда по определению арккосинуса $$\alpha\in[0;\pi]$$ и $$\cos\alpha=x.$$

   Из основного тригонометрического тождества получаем

   $$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-x^2.$$

   Так как при $$\alpha\in[0;\pi]$$ имеем $$\sin\alpha\ge 0,$$ то

   $$\sin(\arccos x)=\sin\alpha=\sqrt{1-x^2}.$$

   Следовательно,

   $$\cos(\arccos x)=x,$$

   $$\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}.$$

2. Пусть $$\alpha=\arccos x.$$ Тогда $$\alpha\in[0;\pi]$$ и $$\cos\alpha=x.$$ При $$x\in(-1;1)$$ число $$\sin\alpha\neq 0,$$ поэтому

   $$\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.$$

   Используя уже найденное значение $$\sin\alpha,$$ получаем

   $$\ctg(\arccos x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.$$

3. Пусть $$\alpha=\arccos x.$$ Тогда $$\alpha\in[0;\pi]$$ и $$\cos\alpha=x.$$ При $$x\in[-1;0)\cup(0;1]$$ имеем $$x\neq 0,$$ значит, $$\tg\alpha$$ определён.

   По формуле

   $$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$

   получаем

   $$\tg(\arccos x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.$$

4. Пусть $$\alpha=\arctg x.$$ Тогда $$\alpha\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ и $$\tg\alpha=x.$$

   Из формулы

   $$1+\tg^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$$

   получаем

   $$\cos^2\alpha=\frac{1}{1+\tg^2\alpha}=\frac{1}{1+x^2}.$$

   Так как $$\alpha\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right),$$ то $$\cos\alpha>0,$$ значит

   $$\cos(\arctg x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.$$

   Тогда

   $$\sin(\arctg x)=\tg(\arctg x)\cdot \cos(\arctg x)=x\cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$$

   И, наконец,

   $$\tg(\arctg x)=x.$$

5. Пусть $$\alpha=\arctg x.$$ Тогда $$\tg\alpha=x,$$ а значит,

   $$\ctg(\arctg x)=\frac{1}{\tg(\arctg x)}=\frac{1}{x}, \qquad x\ne 0.$$

6. Пусть $$\alpha=\arcctg x.$$ Тогда $$\alpha\in(0;\pi)$$ и $$\ctg\alpha=x.$$

   Из формулы

   $$1+\ctg^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}$$

   получаем

   $$\sin^2\alpha=\frac{1}{1+\ctg^2\alpha}=\frac{1}{1+x^2}.$$

   Так как $$\alpha\in(0;\pi),$$ то $$\sin\alpha>0,$$ значит

   $$\sin(\arcctg x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.$$

   Далее

   $$\cos(\arcctg x)=\ctg(\arcctg x)\cdot \sin(\arcctg x)=x\cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$$

   И, следовательно,

   $$\ctg(\arcctg x)=x.$$

7. Пусть $$\alpha=\arcctg x.$$ Тогда $$\ctg\alpha=x,$$ поэтому

   $$\tg(\arcctg x)=\frac{1}{\ctg(\arcctg x)}=\frac{1}{x}, \qquad x\ne 0.$$

Ответ

а) $$\cos(\arccos x)=x,$$ $$\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2};$$
б) $$\ctg(\arccos x)=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}};$$
в) $$\tg(\arccos x)=\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x};$$
г) $$\tg(\arctg x)=x,$$ $$\sin(\arctg x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}},$$ $$\cos(\arctg x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}};$$
д) $$\ctg(\arctg x)=\dfrac{1}{x};$$
е) $$\ctg(\arcctg x)=x,$$ $$\sin(\arcctg x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}},$$ $$\cos(\arcctg x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}};$$
ж) $$\tg(\arcctg x)=\dfrac{1}{x}.$$