Упр.3.18 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

arctg х + arcctg х = пи/2.

Так как $$0<\operatorname{arcctg}x<\pi,$$ то

$$-\frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{2}-\operatorname{arcctg}x<\frac{\pi}{2}.$$

Найдём тангенс числа $$\frac{\pi}{2}-\operatorname{arcctg}x$$:

$$\tg\left(\frac{\pi}{2}-\operatorname{arcctg}x\right)=\ctg(\operatorname{arcctg}x)=x.$$

Значит, число $$\frac{\pi}{2}-\operatorname{arcctg}x$$ принадлежит промежутку $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$$ и имеет тангенс, равный $$x.$$ По определению арктангенса получаем:

$$\frac{\pi}{2}-\operatorname{arcctg}x=\arctg x.$$

Тогда

$$\arctg x+\operatorname{arcctg}x=\frac{\pi}{2}.$$

Ответ

$$\arctg x+\operatorname{arcctg}x=\frac{\pi}{2}.$$