Упр.3.17 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) у = arcsin х;
б) y = arccos х;
в) у = arctg х;
г) у = arcctg х,
и постройте их графики в одной системе координат.

Найдём функции, обратные к данным, и укажем их области определения и значения.

1. Если $$y=\arcsin x,$$ то, меняя местами $$x$$ и $$y,$$ получаем

   $$x=\arcsin y \iff y=\sin x.$$

   Так как $$\arcsin x$$ принимает значения из промежутка $$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],$$ то обратная функция:

   $$y=\sin x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$$

2. Если $$y=\arccos x,$$ то

   $$x=\arccos y \iff y=\cos x.$$

   Так как $$\arccos x$$ принимает значения из промежутка $$[0,\pi],$$ то обратная функция:

   $$y=\cos x,\quad x\in[0,\pi].$$

3. Если $$y=\arctg x,$$ то

   $$x=\arctg y \iff y=\tg x.$$

   Так как $$\arctg x$$ принимает значения из промежутка $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right),$$ то обратная функция:

   $$y=\tg x,\quad x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).$$

4. Если $$y=\arcctg x,$$ то

   $$x=\arcctg y \iff y=\ctg x.$$

   Так как $$\arcctg x$$ принимает значения из промежутка $$\left(0,\pi\right),$$ то обратная функция:

   $$y=\ctg x,\quad x\in(0,\pi).$$

Графики обратных функций получаются отражением графиков $$y=\arcsin x,$$ $$y=\arccos x,$$ $$y=\arctg x,$$ $$y=\arcctg x$$ относительно прямой $$y=x.$$

Ответ

$$ \begin{aligned} &\text{а) } y=\sin x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right];\\ &\text{б) } y=\cos x,\quad x\in[0,\pi];\\ &\text{в) } y=\tg x,\quad x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right);\\ &\text{г) } y=\ctg x,\quad x\in(0,\pi). \end{aligned} $$